Principal » banca » Comprendre el model de preus de les opcions binòmiques

Comprendre el model de preus de les opcions binòmiques

banca : Comprendre el model de preus de les opcions binòmiques

Acordar un preu exacte per a qualsevol actiu negociable és difícil: per això els preus de les accions canvien constantment. En realitat, les empreses gairebé no canvien les seves valoracions cada dia, però els seus preus i accions de valors canvien gairebé cada segon. Aquesta dificultat per arribar a un consens sobre el correcte preu de qualsevol actiu negociable condueix a oportunitats d’arbitratge de curta durada.

Però una gran quantitat d’inversions amb èxit es redueix a una simple pregunta de valoració actual: quin és el preu actual adequat per a un futur benefici previst?

Valoració d’opcions binomines

En un mercat competitiu, per evitar oportunitats d’arbitratge, els actius amb estructures de retribució idèntiques han de tenir el mateix preu. La valoració de les opcions ha estat una tasca difícil i les variacions de preus han conduït a arbitràries. Black-Scholes continua sent un dels models més populars utilitzats per a opcions de preus, però té limitacions.

El model de preus d’opcions binòmiques és un altre mètode popular que s’utilitza per a les opcions de fixació de preus.

Exemples

Suposem que hi ha una opció de trucada en un estoc particular amb un preu de mercat actual de 100 dòlars. L’opció ATM (Money-ATM) té un preu de vaga de 100 dòlars amb el termini de caducitat d’un any. Hi ha dos comerciants, Peter i Paula, que tots dos coincideixen que el preu de les accions pujarà fins als 110 dòlars o baixarà als 90 dòlars en un any.

Acorden els nivells de preus esperats en un període de temps determinat d’un any, però no estan d’acord amb la probabilitat de la pujada o la baixada. Peter creu que la probabilitat que el preu de les accions vagi a 110 dòlars és del 60%, mentre que Paula creu que és del 40%.

A partir d’això, qui estaria disposat a pagar més preu per l’opció de trucada? Possiblement, Peter, ja que espera una alta probabilitat de la superació.

Càlculs d’opcions binomines

Els dos actius, dels quals depèn la valoració, són l'opció de trucada i l'acció subjacent. Hi ha un acord entre els participants que el preu de les accions subjacents pot passar dels 100 dòlars actuals als 110 dòlars o els 90 dòlars en un any i no hi ha possibles moviments de preus possibles.

En un món lliure d’arbitratge, si heu de crear una cartera formada per aquests dos actius, opció de trucada i accions subjacents, de manera que independentment d’on vagi el preu subjacent (110 $ o 90 $), el rendiment net de la cartera continua sent el mateix. . Suposem que compreu "d" accions de subjecció i una opció de trucada breu per crear aquesta cartera.

Si el preu va a 110 dòlars, les vostres accions tindran un valor de 110 dòlars diaris i perdreu 10 dòlars en el reemborsament de trucades curtes. El valor net de la vostra cartera serà (110d - 10).

Si el preu baixa a 90 dòlars, les vostres accions tindran un valor de 90 € * d i l'opció caducarà inútilment. El valor net de la vostra cartera serà (90d).

Si voleu que el valor de la vostra cartera segueixi sent el mateix, independentment del lloc on vagi el preu subjacent, el valor de la vostra cartera hauria de seguir igual en qualsevol dels dos casos:

h (d) −m = l (d) on: h = El major preu subjacent potencial potencial = Nombre d'accions subjacentsm = Diner perdut en trucada curta payoffl = El preu subjacent potencial més baix \ begin {align} & h (d) - m = l (d) \\ & \ textbf {on:} \\ & h = \ text {Preu subjacent potencial més alt} \\ & d = \ text {Nombre d'accions subjacents} \\ & m = \ text {Diner perdut en la recompensa de trucades curtes} \\ & l = \ text {Preu subjacent potencial més baix} \\ \ end {alineat} h (d) −m = l (d) on: h = El subjacent preu més elevat potencial = Nombre d'accions subjacentsm = Diner perdut en trucades curtes payoffl = El preu subjacent potencial més baix

Així, si compreu la meitat de la participació, suposant que es poden adquirir fraccions, aconseguireu crear una cartera de manera que el seu valor segueixi sent el mateix en els dos estats possibles en el termini d’un any.

110d − 10 = 90dd = 12 \ begin {align} i 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \\ \ end {alineat} 110d − 10 = 90dd = 21

Aquest valor de cartera, indicat per (90d) o (110d - 10) = 45, és d'un any per sota de la línia. Per calcular el seu valor actual, es pot descomptar mitjançant la taxa de rendibilitat sense risc (suposant un 5%).

Valor actual = 90d × e (−5% × 1 any) = 45 × 0.9523 = 42.85 \ begin {alineat} \ text {Valor actual} i = 90d \ times e ^ {(-5 \% \ times 1 \ text {Any})} \\ & = 45 \ vegades 0, 9523 \\ & = 42, 85 \\ \ end {alineat} Valor actual = 90d × e (−5% × 1 any) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Ja que actualment, la cartera està formada per ½ quota d’accions subjacents (amb un preu de mercat de 100 dòlars) i una trucada breu, hauria de ser igual al valor actual.

12 × 100−1 × Preu de la trucada = 42, 85 $ Preu total = 7, 14 $, és a dir, el preu de la trucada d’avui \ begin {align} & \ frac {1} {2} \ times 100 - 1 \ times \ text {Price Call} = \ 42, 85 $ \\ & \ text {Preu de la trucada} = \ $ 7, 14 \ text {, és a dir, el preu de la trucada d'avui} \\ \ end {alineat} 21 × 100−1 × Preu de la trucada = 42, 85 $ Preu total = 7, 14 $, és a dir. el preu de trucada d’avui

Com que es basa en el supòsit que el valor de la cartera segueix sent el mateix, independentment de quina forma vagi el preu subjacent, la probabilitat que es produeixi un moviment a l’alça o a la baixa no juga cap paper. La cartera roman exempta de risc, independentment dels moviments de preus subjacents.

En tots dos casos (se suposa que passen a 110 dòlars i passen a 90 dòlars), la teva cartera és neutre respecte al risc i obté la taxa de rendibilitat lliure de risc.

Per tant, els operadors, Peter i Paula, estarien disposats a pagar els mateixos 7, 14 dòlars per aquesta opció de trucada, malgrat les diferents percepcions sobre les probabilitats de moviments ascendents (60% i 40%). Les seves probabilitats percebudes individualment no importen en la valoració d’opcions.

Si suposem que les probabilitats individuals siguin importants, pot haver-hi presentat oportunitats d’arbitratge. Al món real, existeixen aquestes oportunitats d’arbitratge amb diferències menors de preus i s’esvaeixen a curt termini.

Però, on es troba la tanta volatilitat en tots aquests càlculs, un factor important i sensible que afecta el preu de les opcions?

La volatilitat ja està inclosa per la naturalesa de la definició del problema. Si se suposa que hi ha dos estats (i només dos, d’aquí el nom de “binomi”) dels nivells de preus (110 $ i 90 dòlars), la volatilitat està implícita en aquest supòsit i s’inclou automàticament (un 10% de qualsevol manera en aquest exemple).

Black-Scholes

Però, aquest plantejament és correcte i coherent amb els preus habituals de Black-Scholes? Els resultats de la calculadora d’opcions (cortesia d’OIC) coincideixen estretament amb el valor calculat:

Malauradament, el món real no és tan senzill com "només dos estats". L'acció pot arribar a diversos nivells de preus abans de l'hora de caducitat.

És possible incloure tots aquests nivells múltiples en un model de preus binòmic que només està limitat a dos nivells ">

Matemàtica senzilla

Per generalitzar aquest problema i solució:

"X" és el preu de mercat actual d'un estoc i "X * u" i "X * d" són els preus futurs dels moviments ascendents i baixats "t" anys després. El factor "u" serà més gran que un, ja que indica un moviment amunt i "d" es troba entre zero i un. Per a l'exemple anterior, u = 1, 1 i d = 0, 9.

Les retribucions de l'opció de trucada són "P amunt " i "P dn " per a moviments amunt i avall al moment de la seva caducitat.

Si creeu una cartera d’accions "s" comprades avui en dia i una opció de trucada breu, llavors "t" després del temps:

VUM = s × X × u − Pupwhere: VUM = Valor de la cartera en cas de moure cap amunt \ begin {align} & \ text {VUM} = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \\ & \ textbf {on:} \\ & \ text {VUM} = \ text {Valor de la cartera en cas de desplaçament}} \\ \ end {alineat} VUM = s × X × u − Pup on: VUM = Valor de la cartera en cas de nova evolució

VDM = s × X × d − Pdownwhere: VDM = Valor de la cartera en cas de desplaçament a baix \ begin {align} & \ text {VDM} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \\ & \ textbf {on:} \\ & \ text {VDM} = \ text {Valor de la cartera en cas de desplaçament a la baixa} ​​\\ \ end {align} VDM = s × X × d − Pdown on: VDM = Valor de la cartera en cas de baixada

Per a una valoració similar en qualsevol dels casos de variació de preus:

s × X × u − Pup = s × X × d − Pdowns \ times X \ times u - P_ \ text {up} = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} s × X × u− Pup = s × X × d − Pdown

s = Pup − PdownX × (u − d) = El nombre d'accions a comprar per a = una cartera lliure de risc \ begin {align} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down} } {X \ times (u - d)} \\ & = \ text {El nombre d'accions que s'han de comprar per} \\ & \ phantom {=} \ text {un portafoli sense risc} \\ \ end {alineat} s = X × (u − d) Pup −Pdown = El nombre d'accions a comprar per a una cartera lliure de risc

El valor futur de la cartera al final dels anys "t" serà:

En cas de desplaçament ascendent = s × X × u − Pup = Pup − Pdownu − d × u − Pup \ begin {align} \ text {En cas de Up Move} & = s \ times X \ times u - P_ \ text {up} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \\ \ end {align} En cas de Up Move = s × X × u − Pup = u − dPup −Page × u − Pup

En cas de desplaçament cap avall = s × X × d − Pdown = Pup − Pdownu − d × d − Pdown \ begin {align} \ text {En cas de desplaçament cap avall} & = s \ times X \ times d - P_ \ text {down} \\ & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times d - P_ \ text {down} \\ \ end {align} En el cas de Mou avall = s × X × d − Pdown = u − dPup −Paixa × d − Pdown

El valor actual es pot obtenir descomptant-lo amb la taxa de rendibilitat sense risc:

PV = e (−rt) × [Pup − Pdownu − d × u − Pup] on: PV = Valorat actual-dia = Taxa de tornada = Temps, en anys \ begin {alineat} i \ text {PV} = e (-rt) \ times \ left [\ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {u - d} \ times u - P_ \ text {up} \ right] \\ & \ textbf { on:} \\ & \ text {PV} = \ text {Valor actual-dia} \\ & r = \ text {Taxa de retorn} \\ & t = \ text {Temps, en anys} \\ \ end {alineat} PV = e (−rt) × [u − dPup −Paix × u − Pup] on: PV = Valorat actual-dia = Taxa de tornada = Temps, en anys

Això hauria de coincidir amb la participació de la cartera d’accions “s” al preu X, i el valor de trucada breu “c” (presentació actual de (s * X - c)) hauria de ser igual a aquest càlcul.) Resoldre finalment “c”. com:

Nota: si la prima de trucada és escurçada, hauria d'afegir una suma a la cartera i no una resta.

c = e (−rt) u − d × [(e (rt) dd) × Pup + (u − e (−rt)) × Pdown] c = \ frac {e (-rt)} {u - d} \ times [(e (-rt) - d) \ times P_ \ text {up} + (u - e (-rt)) \ times P_ \ text {down}] c = u − de (−rt) × [(e (rt) −d) × Pup + (u − e (−rt)) × Representació]

Una altra manera d'escriure l'equació és reordenant-la:

Prenent "q" com:

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) d

Llavors l’equació es converteix en:

c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Presentació) c = e (-rt) \ times (q \ times P_ \ text {up} + (1 - q) \ times P_ \ text {down}) c = e (−rt) × (q × Pup + (1 − q) × Representació)

L’ordenació de l’equació en termes de “q” ha ofert una nova perspectiva.

Ara podeu interpretar "q" com a probabilitat del moviment ascendent del subjacent (ja que "q" està associat a P up i "1-q" està associat a P dn ). En general, l’equació representa el preu d’opció actual, el valor descomptat de la seva liquidació en venciment.

Aquesta "Q" és diferent

Com es diferencia aquesta probabilitat de "q" de la probabilitat d'un moviment ascendent o d'un moviment descendent del subjacent ">

VSP = q × X × u + (1 − q) × X × en qualsevol lloc: VSP = Valor del preu de les accions a l'hora t \ begin {align} & \ text {VSP} = q \ times X \ times u + (1 - q) \ times X \ times d \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {VSP} = \ text {Valor del preu de les accions a l'hora} t \\ \ end {align} VSP = q × X × u + (1 − q) × X × enlloc: VSP = Valor del preu de les accions en el moment t

Substituint el valor de "q" i reordenant, el preu de les accions en el moment "t" arriba a:

Preu de les accions = e (rt) × X \ begin {align} & \ text {Stock Stock} = e (rt) \ times X \\ \ end {align} Stock Stock = e (rt) × X

En aquest supòsit món de dos estats, el preu de les accions augmenta simplement amb la taxa de rendibilitat lliure de risc, exactament com un actiu sense risc, i per tant, queda independent de qualsevol risc. Els inversors són indiferents al risc sota aquest model, de manera que això constitueix el model de risc neutre.

La probabilitat "q" i "(1-q)" es coneixen com a probabilitats neutres i el mètode de valoració es coneix com el model de valoració de risc neutre.

L’exemple d’escenari té un requisit important: la futura estructura de recompensa és necessària amb precisió (nivells de 110 $ i 90 $). A la vida real, aquesta claredat sobre els nivells de preus basats en etapes no és possible; més aviat, el preu es mou de forma aleatòria i pot variar a diversos nivells.

Per ampliar l’exemple encara, suposem que els nivells de preus en dos passos són possibles. Coneixem els beneficis finals del segon pas i hem de valorar l’opció avui (al pas inicial):

Si es treballa enrere, la valoració del primer pas intermedi (a t = 1) es pot fer mitjançant els beneficis finals al segon pas (t = 2), i després mitjançant aquesta valoració del primer pas calculat (t = 1), la valoració actual (t = 0) es pot aconseguir amb aquests càlculs.

Per obtenir el preu de les opcions al número dos, s'utilitzen les despeses a quatre i cinc. Per obtenir preus per al número tres, s'utilitzen les despeses dels cinc i sis. Finalment, els beneficis calculats a dos i tres s’utilitzen per obtenir preus al número u.

Tingueu en compte que aquest exemple assumeix el mateix factor per als moviments ascendents (i baixats) als dos passos: u i d s'apliquen de manera complexa.

Un exemple de treball

Suposem que una opció de venda amb un preu de vaga de 110 dòlars es cotitza actualment a 100 dòlars i caduca en un any. La taxa anual lliure de risc se situa en el 5%. Es preveu que el preu augmentarà un 20% i baixarà un 15% cada sis mesos.

Aquí, u = 1, 2 i d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

utilitzant la fórmula derivada anterior

q = e (−rt) −du − dq = \ frac {e (-rt) - d} {u - d} q = u − de (−rt) d

obtenim q = 0, 35802832

valor de l’opció de posat al punt 2,

p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) on: p = Preu de l'opció put \ begin {align} & p_2 = e (-rt) \ times (p \ times P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \\ & \ textbf {on:} \\ & p = \ text {Preu de l'opció put} \\ \ end {align} p2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) on: p = Preu de l'opció put

A la condició de pujada de P, el subjacent serà = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 dòlars que condueix a la pujada de P = zero

A la condició d’ actualització P, el subjacent serà = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 $ donant lloc a P updn = 8 $

A la condició P dndn, el subestat serà = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 dòlars, que condueix a P dndn = 37, 75 $

p 2 = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741

De la mateixa manera, p 3 = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924

p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3) p_1 = e (-rt) \ times (q \ times p_2 + (1 - q) p_3) p1 = e (−rt) × (q × p2 + (1 − q) p3)

Per tant, el valor de l’opció put, p 1 = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = 18, 29 $.

De la mateixa manera, els models binomials permeten desglossar tota la durada de l’opció per perfeccionar encara més diversos passos i nivells. Utilitzant programes o fulls de càlcul d’ordinador, podeu treballar un pas enrere per obtenir el valor actual de l’opció desitjada.

Un altre exemple

Assumim una opció de tipus europeu amb nou mesos per a caducitat, un preu de vaga de 12 dòlars i un preu subjacent actual de 10 dòlars. Assumeix una taxa sense risc del 5% per a tots els períodes. Suposem que cada tres mesos, el preu subjacent pot moure un 20% cap amunt o cap avall, donant-nos u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 i un arbre binomi de tres passos.

El vermell indica els preus subjacents, mentre que el blau indica la recompensa de les opcions de venda.

La probabilitat "q" neutra pel risc calcula a 0.531446.

Utilitzant els valors anteriors de "q" i valors de desemborsament a t = nou mesos, els valors corresponents a t = sis mesos es calculen com:

A més, utilitzant aquests valors computats a t = 6, els valors a t = 3 i a t = 0 són:

D'aquesta manera, el valor actual d'una opció de venda és de 2, 18 dòlars, molt a prop del que trobareu fent els càlculs mitjançant el model de Black-Scholes (2, 30 $).

La línia de fons

Tot i que l'ús de programes informàtics pot fer aquests càlculs intensius, la predicció de preus futurs segueix sent una limitació important dels models binòmics per a la fixació de preus d'opcions. Com més fines siguin els intervals de temps, més difícil es pot predir les despeses al final de cada període amb una precisió d'alt nivell.

No obstant això, la flexibilitat per incorporar els canvis esperats en diferents períodes és un avantatge, cosa que el fa adequat per fixar preus en opcions americanes, incloses les valoracions d’exercici inicial.

Els valors computats mitjançant el model binomial coincideixen estretament amb els computats d'altres models d'ús com ara Black-Scholes, la qual cosa indica la utilitat i la precisió dels models binòmics per a la fixació de preus d'opcions. Es poden desenvolupar models de preus de binomi segons les preferències del comerciant i poden funcionar com a alternativa a Black-Scholes.

Comparació de comptes d'inversió Nom del proveïdor Descripció del anunciant × Les ofertes que apareixen a aquesta taula provenen de col·laboracions per les quals Investopedia rep una compensació.
Recomanat
Deixa El Teu Comentari