Càlcul del valor present i futur de les anualitats

En algun moment de la vostra vida, potser haureu hagut de fer una sèrie de pagaments fixos durant un període de temps (com ara lloguers o pagaments de cotxes) o haver rebut una sèrie de pagaments durant un període de temps, com ara els interessos de les obligacions o CDs. S’anomenen anualitats (un ús més genèric de la paraula: no s’ha de confondre amb el producte financer específic anomenat anualitat, tot i que les dues estan relacionades). Si enteneu el valor del temps en diners, esteu preparats per conèixer les anualitats i com es calculen els seus valors actuals i futurs.

Què són les anualitats?

Les anualitats són essencialment una sèrie de pagaments fixos requerits de vosaltres o pagats amb una freqüència específica al llarg d’un període de temps fix. Les freqüències de pagament poden ser anuals, semestrals (dues vegades a l'any), trimestrals i mensuals. Hi ha dos tipus bàsics d’anualitats: anualitats ordinàries i anualitats degudes.

• Anualitat ordinària: Els pagaments es requereixen al final de cada període. Per exemple, les obligacions netes solen fer pagaments de cupó al final de cada sis mesos fins a la data de venciment de l'obligació.
• Anualitat: Els pagaments es requereixen al començament de cada període. La renda és un exemple d'anualitat. Normalment se li demana que pagueu la renda quan primer us traslladeu al principi del mes i, després, el primer de cada mes després.

Atès que els càlculs de valor actuals i futurs per a les rendes ordinàries i anualitats degudes són lleugerament diferents, els discutirem per separat.

Anualitats ordinàries

Càlcul del valor futur

Si sabeu quant podeu invertir per període durant un període de temps determinat, el valor futur (FV) d'una fórmula d'anualitat ordinària és útil per esbrinar quant tindríeu en el futur. Si feu pagaments amb un préstec, el valor futur és útil per determinar el cost total del préstec. Si sabeu quant teniu previst invertir cada any i la taxa fixa de devolució de les vostres garanties d’anualitats (o, per a préstecs, l’import dels vostres pagaments i el tipus d’interès), podeu determinar fàcilment el valor del vostre compte en qualsevol moment de el futur.

Anem a fer l'exemple 1. Considerem el següent calendari de fluxos de caixa:

Per calcular el valor futur de l'anualitat, hem de calcular el valor futur de cada flux de caixa. Suposem que rebeu 1.000 dòlars cada any durant els propers cinc anys i invertiu cada pagament amb un interès del 5%. El diagrama següent mostra quant tindríeu al final del període de cinc anys:

Com que hem d’afegir el valor futur de cada pagament, és possible que hagueu adonat que, si teniu una anualitat ordinària amb molts fluxos d’efectiu, caldria molt temps per calcular tots els valors futurs i després sumar-los. Afortunadament, les matemàtiques proporcionen una fórmula que serveix de drecera per trobar el valor acumulat de tots els fluxos d’efectiu rebuts d’una anualitat ordinària:

FVOrdinary Annuity = C × [(1 + i) n − 1i] on: C = Flux de caixa per periodi = Interès raten = Nombre de pagaments \ begin {align} & \ text {FV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity }} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {(1 + i) ^ n-1} {i} \ Big] \\ & \ textbf {on:} \\ & \ text {C} = \ text {Cash flow per període} \\ & i = \ text {Tipus d'interès} \\ & n = \ text {Nombre de pagaments} \\ \ end {alineat} FVOrdinary Annuity = C × [i (1 + i) n − 1] on: C = Flux de caixa per periodi = Interès de ratificació = Nombre de pagaments

Utilitzant la fórmula anterior de l'exemple 1 anterior, aquest és el resultat:

FVOrdinary Annuity = $ 1000 × [(1 + 0, 05) 5−10, 05] = $ 1000 × [5, 53] \ begin {align} \ text {FV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity}} & = \ $ 1000 \ times \ left \ [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ right] \\ & = \ $ 1000 \ times [5, 53] \\ & = \ 5525, 63 $ \ end {align} FVOrdinary Annuity = 1000 $ × [ 0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] = 1000 $ × [5, 53]

Càlcul del valor actual

Tingueu en compte que la diferència d'un centenari entre 5.525, 64 dòlars i 5.525, 63 dòlars es deu a un error d'arrodoniment en el primer càlcul. Cada valor del primer càlcul s’ha d’arrodonir al cèntim més proper: com més tingueu d’arrodonir els números en un càlcul, més probables es produiran errors d’arrodoniment. Per tant, la fórmula anterior no només proporciona una drecera per trobar el FV d’una anualitat ordinària, sinó que també proporciona un resultat més exacte.

El valor actual d’una anualitat és simplement el valor actual de tots els ingressos que genera aquesta inversió en el futur. Aquest càlcul es basa en el concepte del valor temporal dels diners, que estableix que el dòlar val ara més que un dòlar guanyat en el futur. Per això, els càlculs de valor actuals utilitzen el nombre de períodes de temps durant els quals es generen ingressos per descomptar el valor dels pagaments futurs.

Si voleu determinar el valor actual d'una sèrie de pagaments futurs, heu d'utilitzar la fórmula que calcula el valor actual (PV) d'una anualitat ordinària. Aquesta és la fórmula que utilitzaríeu com a part d’un càlcul de preus de bons. El PV d’una anualitat ordinària calcula el valor actual dels pagaments de cupó que rebrà en el futur.

Per a l’exemple 2, utilitzarem la mateixa programació de fluxos d’efectiu de les anualitats que la que vam fer a l’exemple 1. Per obtenir el valor total descomptat, hem d’agafar el valor actual de cada pagament futur i, tal com vam fer a l’exemple 1, afegir el els fluxos d’efectiu junts.

Un cop més, calcular i afegir tots aquests valors necessitarà un temps considerable, sobretot si esperem molts futurs pagaments. Tot i que nombroses calculadores en línia poden determinar el valor actual d’una anualitat, la fórmula d’una anualitat regular no és massa complicada de calcular a mà, si fem servir una drecera matemàtica per a PV d’una anualitat ordinària.

PVOrdinary Annuity = C × [1− (1 + i) ni] \ text {PV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity}} = \ text {C} \ times \ Big [\ dfrac {1- (1 + i) ^ {- n}} {i} \ Big] PVOddinary Annuity = C × [i1− (1 + i) nn

La fórmula ens proporciona el PV en uns quants passos fàcils. Aquí teniu el càlcul de l’anualitat representada al diagrama de l’exemple 2:

PVOrdinary Annuity = 1000 $ × [1− (1 + 0, 05) −50, 05] = $ 1000 × [4, 33] \ begin {align} \ text {PV} _ {\ text {Ordinary ~ Annuity}} & = \ $ 1000 \ times \ Gran [\ dfrac {1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0.05} \ Big] \\ & = \ $ 1000 \ times [4.33] \\ & = \ $ 4329, 48 \ end {align} PVOrdinary Annuity = 1000 $ × [0, 051− (1 + 0, 05) −5] = 1000 $ × [4, 33]

Càlcul del valor futur

Quan rebeu o pagueu fluxos de caixa per una anualitat deguda, el vostre calendari de fluxos de caixa apareixerà de la manera següent:

Com que cada pagament de la sèrie es fa un període abans, hem de descomptar la fórmula d’un període enrere. Una lleugera modificació als comptes de la FV-of-an-ordinary-anuality dels comptes que es produeixen al començament de cada període. A l'exemple 3, il·lustrem per què es necessita aquesta modificació quan es fa cada pagament de 1.000 dòlars al començament del període i no al final (el tipus d'interès continua sent del 5%):

Tingueu en compte que quan es fan pagaments al començament del període, cada import es mantindrà més al final del període. Per exemple, si s’ha invertit 1.000 dòlars l’1 de gener en lloc del 31 de desembre de cada any, l’últim pagament abans de valorar la nostra inversió al cap de cinc anys (el 31 de desembre) s’hauria fet un any abans (l’1 de gener) en lloc de el mateix dia en què es valora. El valor futur de la fórmula de les rendes després llegiria:

FVAnnuity Due = C × [(1 + i) n − 1i] × (1 + i) FV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {(1 + i) ^ n-1 } {i} \ right] \ times (1 + i) FVAnnuity Due = C × [i (1 + i) n − 1] × (1 + i)

Per tant,

FVAnnuity Due = 1000 $ × [(1 + 0, 05) 5-10, 05] × (1 + 0, 05) = 1000 $ 5, 53 × 1, 05 \ begin {align} FV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ left \ [\ frac {(1 + 0, 05) ^ 5-1} {0, 05} \ right] \ times (1 + 0, 05) \\ & = \ $ 1000 \ times5, 53 \ times1.05 \\ & = \ 5801, 91 $ \ end { alineat} FVAnnuity Due = 1000 $ × [0, 05 (1 + 0, 05) 5−1] × (1 + 0, 05) = $ 1000 × 5, 53 × 1, 05

Anualitat

Càlcul del valor actual

Per al valor actual de la fórmula deguda a les anualitats, hem de descomptar la fórmula d’un període a endavant, ja que els pagaments es mantenen per un període de temps més curt. Quan calculem el valor actual, suposem que el primer pagament s’ha realitzat avui.

Podríem utilitzar aquesta fórmula per calcular el valor actual dels vostres futurs pagaments de lloguer tal com s’especifica en un contracte d’arrendament que sigueu amb el propietari. Suposem que feu el primer pagament de lloguer (vegeu l’exemple 4, més avall) a principis de mes i esteu valorant el valor actual del vostre arrendament de cinc mesos en aquest mateix dia. El vostre càlcul de valor actual funcionaria de la manera següent:

Per descomptat, podem utilitzar una drecera de fórmula per calcular el valor actual d’una anualitat deguda:

PVAnnuity Due = C × [1− (1 + i) ni] × (1 + i) PV _ {\ text {Annuity Due}} = C \ times \ left [\ frac {1- (1 + i) ^ {-n}} {i} \ right] \ times (1 + i) PVAnnuity Due = C × [i1− (1 + i) nn] × (1 + i)

Per tant,

PVAnnuity Due = 1000 $ × [(1− (1 + 0, 05) −50, 05] × (1 + 0, 05) = 1000 $ 4, 33 × 1, 05 \ begin {align} PV _ {\ text {Annuity Due}} & = \ $ 1000 \ times \ left [\ frac {(1- (1 + 0.05) ^ {- 5}} {0.05} \ right] \ times (1 + 0.05) \\ & = \ $ 1000 \ times4.33 \ times1.05 \\ & = \ 4545, 95 $ \ end {align} PVAnnuity Due = 1000 $ × [0, 05 (1− (1 + 0, 05) −5] × (1 + 0, 05) = 1000 × 4, 33 × 1, 05

Recordem que el valor actual d’una anualitat ordinària va retornar un valor de 4.329, 48 dòlars. El valor actual d’una anualitat ordinària és inferior al d’una anualitat deguda perquè a més de descomptar un pagament futur, més baix és el seu valor actual — cada pagament o flux de caixa d’una anualitat ordinària passa un període més endavant.

El valor del temps dels diners

El càlcul de valor futur es basa en el concepte del valor temporal dels diners. Això significa simplement que un dòlar guanyat avui val més que un dòlar guanyat demà perquè els fons que controles ara es poden invertir i guanyar interès amb el temps. Per tant, el valor futur d’una anualitat és superior a la suma de totes les vostres inversions perquè aquestes aportacions han anat guanyant interès amb el pas del temps. Per exemple, el valor futur d’1.000 dòlars invertits avui en un interès del 10% és d’1.100 dòlars un any a partir d’ara. Un dòlar únic val avui 1, 10 dòlars en un any a causa del valor del temps en diners.

Suposem que realitzeu pagaments anuals de 5.000 dòlars a la vostra anualitat ordinària durant 15 anys. Guanya interès del 9% i es suma anualment.

FV = 5.000 $ × {(((1 + 0, 09) 15) −1) ÷ 0, 09} = 5.000 $ × {((1.0915) −1) ÷ 0.09} = 5.000 × 2.642 $: 0.09 \ begin {alineats} FV & = \ 5.000 dòlars \ vegades \ {(((1 + 0.09) ^ {15}) - 1) \ div 0.09 \} \\ & = \ $ 5.000 \ vegades \ {((1.09 ^ {15}) - 1) \ div 0.09 \ } \\ & = \ 5.000 $ \ vegades 2.642 \ div 0.09 \\ & = \ $ 5.000 \ vegades \ 146.804, 58 $ \ end {alineat} FV = 5.000 $ × {((1 + 0.09) 15) −1) ÷ 0.09} = 5.000 dòlars × {((1.0915) −1) ÷ 0, 09} = 5.000 × 2.642 dòlars: 0.09

Sense que el poder d’interès s’integri, les vostres sèries de 5.000 dòlars només valen 75.000 dòlars al cap de 15 anys. En canvi, amb interès compost, el valor futur de la vostra anualitat és gairebé el doble que en 146.804, 58 dòlars.

Per calcular el valor futur d’una anualitat deguda, simplement multipliqueu el valor futur ordinari per 1+ i (el tipus d’interès). A l’exemple anterior, el valor futur d’una anualitat deguda amb els mateixos paràmetres és simplement 146.804, 58 $ (1 + 0, 09) o 160.016, 99 dòlars.

Consideracions de valor actuals

Quan es calcula el valor actual d’una anualitat, és important que totes les variables siguin consistents. Si l'anualitat genera pagaments anuals, per exemple, la taxa d'interès també s'ha d'expressar com a taxa anual. Si l'anualitat genera pagaments mensuals, per exemple, la taxa d'interès també s'ha d'expressar com a taxa mensual.

Suposem que una anualitat té un tipus d’interès del 10% que genera pagaments anuals de 3.000 dòlars per als propers 15 anys. El valor actual d'aquesta anualitat és:

= 3.000 $ × (((1− (1 + 0.1) −15)) ÷ 0.1) = 3.000 $ × ((1 −239392) ÷ 0.1) = 3.000 $ × (0.760608 ÷ 0.1) = 3.000 × 7.60608 \ begin {alineat } & = \ 3.000 $ \ times (((1 - (1 + 0.1) ^ {- 15})) \ div 0.1) \\ & = \ 3.000 $ \ times ((1 - .239392) \ div 0.1) \\ & = \ 3.000 $ \ vegades (0.760608 \ div 0.1) \\ & = \ \ 3.000 $ \ vegades 7.60608 \\ & = \ 22.818 $ \ end {alineat} = 3.000 $ × (((1− (1 + 0.1) 15)) ÷ 0, 1) = 3.000 $ × ((1 −239392) ÷ 0.1) = 3.000 $ × (0.760608 ÷ 0.1) = 3.000 × 7.60608

Valor actual d’una anualitat

La línia de fons

Ara podeu veure com afecten les anualitats com calculeu el valor present i futur de qualsevol quantitat de diners. Recordeu que les freqüències de pagament o el nombre de pagaments i el moment en què es realitzen aquests pagaments (ja sigui al començament o al final de cada període de pagament) són totes les variables que cal tenir en compte en els vostres càlculs.

A l’hora de planificar la jubilació, és important tenir una bona idea de quants ingressos es poden confiar cada any. Tot i que pot ser relativament fàcil fer un seguiment de quant dediqueu als plans de jubilació patrocinats per l'empresari, els comptes de jubilació individuals (IRA) i les anualitats, no sempre és tan fàcil saber quant obtindreu. Afortunadament, quan es tracta d’anualitats de tipus fix o plans invertits en títols de tipus fix, hi ha una manera senzilla de calcular quants diners podeu esperar tenir després de la jubilació en funció de la quantitat que heu posat al compte durant els vostres anys de treball. .