Prova d’hipòtesi en finances: concepte i exemples

El vostre assessor d’inversions us proposa un pla d’inversions mensuals d’ingressos que promet un rendiment variable cada mes. Invertireu en ella només si se us assegura un ingrés mitjà mensual de 180 dòlars. El seu assessor també li diu que durant els darrers 300 mesos, el pla ha obtingut rendiments de la inversió amb un valor mitjà de 190 dòlars i una desviació estàndard de 75 dòlars. Hauria d’invertir en aquest esquema? La prova de la hipòtesi serveix per ajudar a la presa de decisions.

Aquest article assumeix la familiaritat dels lectors amb conceptes d'una taula de distribució normal, fórmula, valor de p i bàsics relacionats amb estadístiques.

Què és la prova de la hipòtesi?

La hipòtesi o el test de significació és un model matemàtic per provar una reclamació, idea o hipòtesi sobre un paràmetre d'interès en un conjunt de població determinat, mitjançant dades mesurades en un conjunt de mostres. Els càlculs es realitzen sobre mostres seleccionades per obtenir informació més decisiva sobre les característiques de tota la població, cosa que permet una forma sistemàtica de provar reclamacions o idees sobre tot el conjunt de dades.

Aquí hi ha un exemple senzill: Un director de l'escola informa que els estudiants de la seva escola assoleixen una mitjana de 7 de cada 10 als exàmens. Per provar aquesta "hipòtesi", es registren marques de 30 estudiants (mostra) de tota la població estudiantil de l'escola (per exemple 300) i es calcula la mitjana d'aquesta mostra. A continuació, podem comparar la mitjana de l’exemple (calculat) amb la mitjana de la població (reportada) i intentar confirmar la hipòtesi.

Com a exemple més, la rendibilitat anual d’un determinat fons mutual és del 8%. Suposem que el fons mutualista existeix des de fa 20 anys. Prenem una mostra aleatòria de rendiments anuals del fons mutu per, per exemple, cinc anys (mostra) i calculem la seva mitjana. A continuació, comparem la mitjana de l’exemple (calculat) amb la mitjana de la població (reclamada) per verificar la hipòtesi.

Els criteris de presa de decisions s’han de basar en determinats paràmetres de conjunts de dades.

Existeixen diferents metodologies per provar hipòtesis, però hi ha els mateixos quatre passos bàsics:

Pas 1: definiu la hipòtesi

Normalment, el valor notificat (o les estadístiques de reclamacions) es diu com a hipòtesi i es considera que és cert. Per als exemples anteriors, la hipòtesi serà:

• Exemple A: Els estudiants de l'escola fan una mitjana de 7 de cada 10 als exàmens.
• Exemple B: la rendibilitat anual del fons mutu és del 8% anual.

Aquesta descripció constituïda és la " hipòtesi nul·la (H ₀ ) " i s'assumeix que és certa: la forma en què un acusat en un procés del jurat és presumpte innocent fins que es demostra culpable per les proves presentades en un tribunal. De la mateixa manera, la prova d’hipòtesis comença afirmant i assumint una “hipòtesi nul·la” i, a continuació, el procés determina si la hipòtesi és veritable o falsa.

El punt important a destacar és que estem provant la hipòtesi nul·la perquè hi ha un element de dubte sobre la seva validesa. Qualsevol informació que estigui en contra de la hipòtesi nul·la indicada es capta a la hipòtesi alternativa (H ₁ ). Per als exemples anteriors, la hipòtesi alternativa serà:

• Els estudiants puntuen una mitjana que no és igual a 7.
• La rendibilitat anual del fons mutu no és igual al 8% anual.

En altres paraules, la hipòtesi alternativa és una contradicció directa de la nul·la hipòtesi.

Com en un judici, el jurat assumeix la innocència de l'acusat (hipòtesi nul·la). El fiscal ha de demostrar el contrari (hipòtesi alternativa). De la mateixa manera, l'investigador ha de demostrar que la hipòtesi nul·la és vertadera o falsa. Si el fiscal no demostra la hipòtesi alternativa, el jurat ha de deixar anar l'acusat (basant la decisió en la nul·la hipòtesi). De la mateixa manera, si l'investigador no demostra una hipòtesi alternativa (o simplement no fa res), s'assumeix que la hipòtesi nul·la és certa.

Pas 2: configureu els criteris

Els criteris de presa de decisions s’han de basar en determinats paràmetres de conjunts de dades i aquí és on surt la connexió a la distribució normal.

Segons les publicacions estadístiques estàndard sobre la distribució de mostreigs, "Per a qualsevol mida de mostra n, la distribució de mostreigs de X̅ és normal si normalment es distribueix la població X de la qual s'extreu la mostra." Per tant, les probabilitats de la resta de mostres possibles signifiquen que se'n poden seleccionar normalment es distribueixen.

Per exemple, determinar si la rendibilitat mitjana diària de qualsevol acció que cotitza a la borsa de valors XYZ, al voltant del dia de Cap d'Any és superior al 2%.

H ₀ : Hipòtesi nula: mitjana = 2%

H ₁ : Hipòtesi alternativa: mitjana> 2% (això és el que volem demostrar)

Preneu la mostra (per exemple, de 50 existències sobre 500) i calculeu la mitjana de la mostra.

Per a una distribució normal, el 95% dels valors estan dins de dues desviacions estàndard de la mitjana de la població. Per tant, aquesta distribució normal i assumpció de límit central del conjunt de dades de mostra ens permet establir un 5% com a nivell de significació. Té sentit ja que, sota aquest supòsit, hi ha menys d’un 5% de probabilitats (100-95) d’obtenir nivells superiors a dues desviacions estàndard de la mitjana de la població. Segons la naturalesa dels conjunts de dades, es poden assolir altres nivells d’importància a l’1%, el 5% o el 10%. En el cas dels càlculs financers (incloent-hi les finances comportamentals), el 5% és el límit generalment acceptat. Si trobem càlculs que vagin més enllà de les dues desviacions habituals habituals, hi ha un cas fort de valors que rebutgen la hipòtesi nul·la.

Gràficament, es representa de la manera següent:

A l'exemple anterior, si la mitjana de la mostra és molt més gran que el 2% (per exemple, un 3, 5%), rebutgem la hipòtesi nul·la. S'accepta la hipòtesi alternativa (mitjana> 2%), la qual cosa confirma que la rendibilitat mitjana diària de les existències és per sobre del 2%.

Tanmateix, si és probable que la mitjana de la mostra no sigui significativament superior al 2% (i es mantingui a, per exemple, al voltant del 2, 2%), llavors NO podrem rebutjar la nul·la hipòtesi. El repte es planteja com decidir sobre casos tan propis. Per obtenir una conclusió a partir de mostres i resultats seleccionats, cal determinar un nivell de significació que permeti concloure sobre la hipòtesi nul·la. La hipòtesi alternativa permet establir el nivell d'importància o el concepte de "valor crític" per decidir casos tan propis.

Segons la definició estàndard del llibre de text, "Un valor crític és un valor de tall que defineix els límits més enllà dels quals es pot obtenir menys del 5% dels mitjans mostrals si la hipòtesi nul·la és certa. Els mitjans d’exemple obtinguts més enllà d’un valor crític tindran com a resultat una decisió de rebutjar la hipòtesi nul·la. "En l’exemple anterior, si hem definit el valor crític com a 2, 1% i la mitjana calculada arriba al 2, 2%, aleshores rebutgem la nul·la hipòtesi. Un valor crític estableix una demarcació clara sobre l’acceptació o el rebuig.

Pas 3: calculeu les estadístiques

Aquest pas consisteix en calcular la xifra o les figures necessàries, conegudes com a estadístiques de prova (com la mitjana, la puntuació z, el valor p, etc.) per a la mostra seleccionada. (Els accedirem a una secció posterior.)

Pas 4: Arribar a una conclusió

Amb el (s) valor (s) calculat (a), decidiu sobre la hipòtesi nul·la. Si la probabilitat d'obtenir una mitjana de mostra és inferior al 5%, la conclusió és rebutjar la hipòtesi nul·la. En cas contrari, acceptar i mantenir la hipòtesi nul·la.

Tipus d'errors

Hi ha quatre possibles resultats en la presa de decisions basada en mostres, en relació amb la correcta aplicabilitat a tota la població:

Els casos “correctes” són els que les decisions preses sobre les mostres són realment aplicables a tota la població. Els casos d'errors es produeixen quan es decideix retenir (o rebutjar) la hipòtesi nul basada en els càlculs de mostra, però aquesta decisió no s'aplica realment per a tota la població. Aquests casos constitueixen errors de tipus 1 (alfa) i tipus 2 (beta), tal com s’indica a la taula anterior.

Seleccionar el valor crític correcte permet eliminar els errors alfa tipus 1 o limitar-los a un rang acceptable.

Alpha denota l’error en el nivell de significació i el determina l’investigador. Per mantenir la importància o el nivell de confiança del 5% estàndard per als càlculs de probabilitat, es manté en un 5%.

Segons els criteris de referència i definicions aplicables:

• "Aquest criteri (alfa) normalment es defineix en 0, 05 (a = 0, 05) i comparem el nivell alfa amb el valor p. Quan la probabilitat d’un error de tipus I és inferior al 5% (p <0.05), decidim rebutjar la hipòtesi nul·la; en cas contrari, conservem la nul·la hipòtesi. "
• El terme tècnic emprat per a aquesta probabilitat és el valor p . Es defineix com a "la probabilitat d'obtenir un resultat de mostra, ja que el valor indicat a la hipòtesi nul és cert. El valor p per obtenir un resultat de mostra es compara amb el nivell de significació. "
• Un error de tipus II, o error beta, es defineix com a "la probabilitat de mantenir incorrectament la hipòtesi nul·la, quan de fet no és aplicable a tota la població."

Alguns exemples més demostraran aquest i altres càlculs.

Exemple 1

Existeix un esquema d’inversions mensuals que promet rendiments mensuals variables. Un inversor invertirà en ella només si té assegurats un ingrés mitjà mensual de 180 dòlars. Té una mostra de rendiments de 300 mesos, que té una mitjana de 190 dòlars i una desviació estàndard de 75 dòlars. Si hauria d’invertir en aquest esquema ">

Establim el problema. L’inversor invertirà en el règim si té assegurada la rendibilitat mitjana desitjada de 180 dòlars.

H ₀ : Hipòtesi nula: mitjana = 180

H ₁ : Hipòtesi alternativa: mitjana> 180

Mètode 1: Enfocament del valor crític

Identifiqueu un valor crític X _L per a la mitjana de la mostra, que és prou gran com per rebutjar la hipòtesi nul·la, és a dir, rebutgeu la hipòtesi nula si la mitjana de la mostra> = valor crític X _L

P (identificar un error alfa de tipus I) = P (rebutjar H ₀ donat que H ₀ és cert),

Això s’aconseguiria quan la mitjana de la mostra superés els límits crítics.

= P (donat que H ₀ és cert) = alfa

Gràficament, apareix de la manera següent:

Prenent alfa = 0, 05 (és a dir, un nivell de significació del 5%), Z _{0, 05} = 1, 645 (de la taula Z o taula de distribució normal)

=> X _L = 180 + 1.645 * (75 / sqrt (300)) = 187.12

Com que la mitjana de la mostra (190) és superior al valor crític (187.12), la hipòtesi nul·la es rebutja, i la conclusió és que la rendibilitat mensual mitjana és efectivament superior a 180 dòlars, de manera que l’inversor pot considerar invertir en aquest esquema.

Mètode 2: Utilitzar estadístiques de proves normalitzades

També es pot utilitzar un valor estandarditzat z.

Test Statistique, Z = (mitjana de mostra - mitjana de població) / (std-dev / sqrt (núm. De mostres).

Aleshores, la regió de rebuig passa a ser la següent:

Z = (190 - 180) / (75 / sqrt (300)) = 2.309

La nostra regió de rebuig al nivell de significació del 5% és Z> Z _0.05 = 1.645.

Com que Z = 2.309 és superior a 1.645, es pot rebutjar la hipòtesi nul·la amb una conclusió similar esmentada anteriorment.

Mètode 3: Càlcul de valor P

El nostre objectiu és identificar P (mitjana de mostra> = 190, quan mitjana = 180).

= P (Z> = (190-180) / (75 / sqrt (300))

= P (Z> = 2.309) = 0.0084 = 0.84%

La taula següent per deduir càlculs de valor p conclou que hi ha proves confirmades de rendiments mensuals mitjans superiors a 180:

Exemple 2

Un nou agent de borsa (XYZ) afirma que les seves taxes de corretatge són inferiors a les del corredor d’accions actuals (ABC). Les dades disponibles d’una signatura d’investigació independent indiquen que la mitjana i el primer valor de tots els clients d’agents de corredors ABC són de 18 i 6 dòlars, respectivament.

Es pren una mostra de 100 clients d’ABC i es calculen les despeses de corretatge amb les noves tarifes del corredor XYZ. Si la mitjana de la mostra és de 18, 75 dòlars i std-dev és la mateixa (6 dòlars), es pot fer una referència sobre la diferència en la factura de corretge mitjà entre ABC i el corredor XYZ ">

H ₀ : Hipòtesi nula: mitjana = 18

H ₁ : Hipòtesi alternativa: mitjana 18 (això és el que volem demostrar.)

Regió de rebuig: Z <= - Z _{2, 5} i Z> = Z _{2, 5} (assumint un nivell de significació del 5%, dividiu 2, 5 cadascun dels dos costats).

Z = (mostra mitjana - mitjana) / (std-dev / sqrt (núm. De mostres))

= (18, 75 - 18) / (6 / (sqrt (100)) = 1, 25

Aquest valor Z calculat es troba entre els dos límits definits per:

- Z _{2, 5} = -1, 96 i Z _{2, 5} = 1, 96.

Això conclou que no hi ha proves suficients per a inferir que hi ha alguna diferència entre les taxes del corredor existent i del nou corredor.

Alternativament, el valor p = P (Z1.25)

= 2 * 0, 1056 = 0, 2112 = 21, 12% que és superior a 0, 05 o 5%, donant lloc a la mateixa conclusió.

Gràficament, es representa amb el següent:

Punts de crítica del mètode d’assaig hipotètic:

• Un mètode estadístic basat en suposicions
• Propens a un error tal com es detalla en termes d’errors alfa i beta
• La interpretació del valor p pot ser ambigua i comportar resultats confusos

La línia de fons

La prova d’hipòtesi permet a un model matemàtic validar una reclamació o idea amb un cert nivell de confiança. Tanmateix, com la majoria d’eines i models estadístics, està limitada per algunes limitacions. L’ús d’aquest model per prendre decisions financeres s’ha de considerar amb un ull crític, tenint present totes les dependències. També es mereixen explorar mètodes alternatius com l’inferència bayesiana per fer-ne anàlisis similars.