Els usos i límits de la volatilitat

Als inversors els agrada centrar-se en la promesa de rendiments elevats, però també s’han de preguntar el risc que han d’assumir a canvi d’aquests rendiments. Tot i que sovint parlem de risc en un sentit general, també hi ha expressions formals de la relació risc-recompensa. Per exemple, la proporció Sharpe mesura l'excés de rendibilitat per unitat de risc, quan el risc es calcula com a volatilitat, que és una mesura de risc tradicional i popular. Les seves propietats estadístiques són prou conegudes i s’alimenta en diversos marcs, com la teoria de portafolis moderna i el model de Black-Scholes. En aquest article, examinem la volatilitat per comprendre els seus usos i els seus límits.

Desviació estàndard anualitzada
A diferència de la volatilitat implícita, que pertany a la teoria dels preus d’opcions i és una estimació de futur basada en un consens del mercat, la volatilitat regular es retarda. Concretament, és la desviació estàndard anualitzada dels rendiments històrics.

Els marcs tradicionals de risc que es basen en la desviació estàndard generalment suposen que els rendiments s’ajusten a una distribució normal en forma de campana. Les distribucions normals ens proporcionen unes pautes útils: aproximadament dos terços del temps (68, 3%), els rendiments haurien de caure en una desviació estàndard (+/-); i el 95% del temps, els rendiments haurien de situar-se en dues desviacions estàndard. Les dues qualitats d'un gràfic de distribució normal són les "cues" primes i la simetria perfecta. Les cues primes impliquen una ocurrència molt baixa (aproximadament un 0, 3% del temps) de rendiments que es troben a més de tres desviacions estàndard de la mitjana. La simetria implica que la freqüència i la magnitud dels guanys al revés és una imatge mirall de les pèrdues de baixa.

VEURE: L’impacte de la volatilitat en els rendiments del mercat

En conseqüència, els models tradicionals consideren tota incertesa com a risc, independentment de la seva direcció. Com han demostrat moltes persones, això és un problema si les rendibilitats no són simètriques: els inversors es preocupen de les seves pèrdues "a l'esquerra" de la mitjana, però no es preocupen dels guanys a la dreta de la mitjana.

A continuació il·lustrem aquest argument amb dues existències de ficció. L’estoc en caiguda (línia blava) es troba totalment sense dispersió i per tant produeix una volatilitat de zero, però l’augment d’estoc - perquè presenta diversos xocs a l’alça però no una sola baixada - produeix una volatilitat (desviació estàndard) del 10%.

Propietats teòriques
Per exemple, quan calculem la volatilitat de l’índex S&P 500 al 31 de gener de 2004, arribem des del 14, 7% al 21, 1%. Per què aquest rang ">

Observeu que la volatilitat augmenta a mesura que augmenta l’interval, però no gairebé en proporció: el setmanari no és gairebé cinc vegades la quantitat diària i mensual no és gairebé quatre vegades per setmana. Arribem a un aspecte clau de la teoria de la caminada aleatòria: escales de desviació estàndard (augment) en proporció a l’arrel quadrada del temps. Per tant, si la desviació estàndard diària és de l’1, 1% i si hi ha 250 dies de negociació en un any, la desviació estàndard anualitzada és la desviació estàndard diària de l’1, 1% multiplicada per l’arrel quadrada de 250 (1, 1% x 15, 8 = 18, 1%) . Sabent això, podem anualitzar les desviacions estàndard de l’interval per l’S & P 500 multiplicant per l’arrel quadrada el nombre d’intervals d’un any:

Una altra propietat teòrica de la volatilitat pot sorprendre o no sorprendre: que erosiona els rendiments. Això es deu a l’assumpció clau de la idea de caminada aleatòria: que els rendiments s’expressen en percentatges. Imagineu que comenceu amb 100 dòlars i, després, guanyeu un 10% per obtenir 110 $. Aleshores, perdreu un 10%, cosa que us permetrà anar a 99 $ (110 x 90% = 99 $). Aleshores, tornes a guanyar un 10%, fins a 108, 90 dòlars nets (99 x 110% = 108, 9 $). Finalment, perdreu un 10% fins als 98, 01 dòlars nets. Pot ser contra-intuïtiu, però el principal es va erosionant lentament, tot i que el seu guany mitjà és del 0%!

Si, per exemple, espereu un guany mitjà anual del 10% anual (és a dir, la mitjana aritmètica), resulta que el guany esperat a llarg termini és inferior al 10% anual. De fet, es reduirà aproximadament la meitat de la variància (on la variància és la desviació estàndard quadrada). A la hipotètica pura de més avall, comencem amb 100 dòlars i, després, imaginem cinc anys de volatilitat per acabar amb 157 dòlars:

La rendibilitat mitjana anual dels cinc anys va ser del 10% (15% + 0% + 20% - 5% + 20% = 50% ÷ 5 = 10%), però la

(CAGR o retorn geomètric) és una mesura més precisa

i només era del 9, 49%. La volatilitat va erosionar el resultat i la diferència és aproximadament la meitat de la diferència de l’1, 1%. Aquests resultats no provenen d’un exemple històric, sinó en termes d’expectatives, donada una desviació estàndard de

(la variació és el quadrat de la desviació estàndard,

^ 2) i un guany mitjà esperat de

, el rendiment anualitzat previst és aproximadament

- (

^ 2 ÷ 2).

Les rendibilitats tenen un bon comportament "> Nasdaq a continuació (aproximadament 2.500 observacions diàries):

Com és de suposar, la volatilitat de Nasdaq (desviació estàndard anualitzada del 28, 8%) és superior a la volatilitat del S&P 500 (desviació estàndard anualitzada del 18, 1%). Podem observar dues diferències entre la distribució normal i la rendibilitat real. En primer lloc, els rendiments reals tenen pics més alts, cosa que significa una major preponderància dels rendiments propers a la mitjana. En segon lloc, els rendiments reals tenen les restes més grosses. (Els nostres resultats s’alineen una mica amb estudis acadèmics més extensos, que també solen trobar pics alts i cues de greix; el terme tècnic per a això és kurtosi). Diguem que considerem menys tres desviacions estàndard com una gran pèrdua: el S&P 500 va experimentar una pèrdua diària de menys menys tres desviacions estàndard al voltant d’un -3, 4% del temps. La corba normal preveu que aquesta pèrdua es produiria tres vegades en deu anys, però en realitat va succeir 14 vegades.

Es tracta de distribucions de rendiments per intervals separats, però el que diu la teoria sobre els rendiments en el temps "> la rendibilitat mitjana anual (durant els darrers deu anys) va ser d'aproximadament el 10, 6% i, segons es va comentar, la volatilitat anualitzada va ser del 18, 1%. Aquí es realitza una hipotètica. que comença amb 100 dòlars i la manté durant més de 10 anys, però exposem cada any la inversió a un resultat aleatori que va tenir un promig del 10, 6% amb una desviació estàndard del 18, 1%. Aquesta prova es va fer 500 vegades, convertint-la en el denominat Montecarlo. A continuació es mostren els resultats finals de preus de 500 assaigs:

Una distribució normal es mostra com a teló de fons només per posar en evidència els resultats molt normals del preu. Tècnicament, els resultats finals del preu són lognormals (el que significa que si l'eix x es convertís en registre natural de x, la distribució semblaria més normal). La qüestió és que diversos resultats de preus estan a la dreta: de 500 proves, sis resultats van produir un resultat de final de període de 700 dòlars. Aquests preciosos pocs resultats van aconseguir guanyar més d’un 20% de mitjana cada any durant més de 10 anys. Al costat esquerre, ja que un saldo en disminució redueix els efectes acumulats de les pèrdues percentuals, només vam obtenir uns quants resultats finals inferiors a 50 dòlars. Per resumir una idea difícil, podem dir que els rendiments dels intervals (expressats en termes percentuals) es distribueixen normalment, però els resultats finals dels preus es distribueixen normalment.

VEURE: Models multivariables: Anàlisi de Montecarlo

Finalment, una altra conclusió dels nostres assajos és coherent amb els "efectes d'erosió" de la volatilitat: si la vostra inversió obtingués exactament la mitjana cada any, mantindríeu uns 273 dòlars al final (un 10, 6% acumulat al llarg de 10 anys). Però en aquest experiment, el nostre guany global esperat es va aproximar als 250 dòlars. És a dir, el guany anual (aritmètic) mitjà va ser del 10, 6%, però el guany acumulat (geomètric) va ser menor.

És fonamental tenir en compte que la nostra simulació assumeix un passeig aleatori: suposa que els rendiments d’un període a l’altre són totalment independents. No ho hem demostrat de cap manera, i no és una suposició trivial. Si creieu que els rendiments segueixen les tendències, tècnicament esteu dient que mostren correlació seriosa positiva. Si creieu que tornen a la mitjana, tècnicament esteu dient que mostren correlació seriosa negativa. Cap de les dues parts no és coherent amb la independència.

La línia de fons
La volatilitat és desviació estàndard anualitzada dels rendiments. En el marc teòric tradicional, no només mesura el risc, sinó que afecta l’esperança de rendiments a llarg termini (multi-període). Com a tal, ens demana que acceptem les hipòtesis dubtoses que els rendiments dels intervals normalment es distribueixen i són independents. Si aquests supòsits són certs, l’alta volatilitat és una espasa de doble tall: erosiona el retorn esperat a llarg termini (redueix la mitjana aritmètica a la mitjana geomètrica), però també et proporciona més possibilitats d’obtenir uns quants beneficis importants.

VEURE: Volatilitat implícita: Compra baix i ven alt