Definició del teorema de Bayes
El teorema de Bayes, anomenat després del matemàtic britànic Thomas Bayes del segle XVIII, és una fórmula matemàtica per determinar la probabilitat condicional. El teorema proporciona una manera de revisar prediccions o teories existents (probabilitats d’actualització) donades evidències noves o addicionals. En finances, el teorema de Bayes es pot utilitzar per valorar el risc de prestar diners als prestataris potencials.
El teorema de Bayes també es diu Regla de Bayes o Llei de Bayes i és el fonament del camp de les estadístiques bayesianes.
Compres per emportar
- El teorema de Bayes permet actualitzar les probabilitats previstes d’un esdeveniment mitjançant la incorporació d’informació nova.
- El teorema de Bayes va rebre el nom del matemàtic Thomas Bayes del segle XVIII.
- Sovint s’utilitza en finances per actualitzar l’avaluació del risc.
La fórmula del teorema de Bayes és
P (A∣B) = P (A⋂B) P (B) = P (A) ⋅P (B∣A) P (B) on: P (A) = La probabilitat que A es produeixiP (B) = La probabilitat que es produeixi B (A∣B) = La probabilitat de A donada BP (B∣A) = La probabilitat de B donada AP (A⋂B)) = La probabilitat de que A i B es produeixin \ begin {align} i P \ left (A | B \ right) = \ frac {P \ left (A \ bigcap {B} \ right)} {P \ left (B \ right)} = \ frac {P \ left (A \ right) \ cdotP \ left (B} {P \ left (B \ right)} \\ & \ textbf {where:} \\ & P \ left (A \ right) = \ text {La probabilitat que es produeixi A}} \\ & P \ left (B \ right) = \ text {La probabilitat que es produeixi B} \\ & P \ left (A | B \ right) = \ text {La probabilitat de A donada B} \\ & P \ left (B | A \ right) = \ text {La probabilitat que B es doni A} \\ & P \ left (A \ bigcap {B} \ right)) = \ text {La probabilitat que es produeixin A i B} \\ \ end {align} P ( A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) on: P (A) = La probabilitat que A passi P (B) = La probabilitat de que es produeixi P (A∣B) = La probabilitat de A donada BP (B∣A) = La probabilitat de B donada AP (A⋂B)) = La probabilitat que es produeixin A i B
Es va explicar el teorema de Bayes
Les aplicacions del teorema són generalitzades i no es limiten a l'àmbit financer. A tall d’exemple, el teorema de Bayes es pot utilitzar per determinar la precisió dels resultats de les proves mèdiques tenint en compte la probabilitat que una persona determinada tingui una malaltia i la precisió general de la prova. El teorema de Bayes es basa en incorporar distribucions de probabilitats prèvies per generar probabilitats posteriors. La probabilitat prèvia, en la inferència estadística bayesiana, és la probabilitat que tingui un esdeveniment abans de recollir-se noves dades. Aquesta és la millor valoració racional de la probabilitat d’un resultat basada en el coneixement actual abans de realitzar un experiment. La probabilitat posterior és la probabilitat revisada que es produeixi un esdeveniment després de tenir en compte informació nova. La probabilitat posterior es calcula actualitzant la probabilitat prèvia mitjançant el teorema de Bayes. En termes estadístics, la probabilitat posterior és la probabilitat que es produeixi l’esdeveniment A donat que s’ha produït l’esdeveniment B.
El teorema de Bayes dóna, per tant, la probabilitat d’un esdeveniment basat en informació nova que estigui relacionada o que estigui relacionada amb aquest esdeveniment. També es pot utilitzar la fórmula per veure com la probabilitat que es produeixi un esdeveniment estigui afectada per una informació hipotètica nova, suposant que la nova informació resultarà ser certa. Per exemple, diguem que una sola targeta s’extreu d’un conjunt complet de 52 cartes. La probabilitat que la targeta sigui un rei és de 4 dividits per 52, cosa que equival a 1/13 o aproximadament al 7, 69%. Recordeu que hi ha 4 reis a la coberta. Ara, suposem que es revela que la targeta seleccionada és una targeta cara. La probabilitat que la carta seleccionada sigui un rei, ja que es tracta d’una targeta cara, està 4 dividida per 12, o aproximadament un 33, 3%, ja que hi ha 12 cartes facials en un cobert.
Derivant la fórmula del teorema de Bayes amb un exemple
El teorema de Bayes segueix simplement des dels axiomes de la probabilitat condicional. La probabilitat condicional és la probabilitat d’un esdeveniment donat que es va produir un altre esdeveniment. Per exemple, una pregunta de probabilitat simple pot fer-se: "Quina és la probabilitat que caigui el preu de les accions d'Amazon.com, Inc., (NYSE: AMZN)?" La probabilitat condicional fa aquesta pregunta un pas més enllà preguntant: "Quina és la probabilitat de caure el preu de les accions d'AMZN, atès que l'índex de la Dow Jones Industrial Average (DJIA) va caure abans?"
La probabilitat condicional de A donat que ha passat B es pot expressar com:
Si A és: "cau el preu AMZN", P (AMZN) és la probabilitat que caigui AMZN; i B és: "DJIA ja està a la baixa", i P (DJIA) és la probabilitat que el DJIA caigui; aleshores, l'expressió de probabilitat condicional es diu com "la probabilitat que AMZN caigui donat un declivi DJIA és igual a la probabilitat que el preu AMZN declini i DJIA disminueixi per la probabilitat de disminució de l'índex DJIA.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN i DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN i DJIA) és la probabilitat que es produeixin tant A com B. Això també és el mateix que la probabilitat que A es produeixi multiplicada per la probabilitat que es produeixi B donat que es produeixen A, expressats com P (AMZN) x P (DJIA | AMZN). El fet que aquestes dues expressions siguin iguals condueix al teorema de Bayes, que s'escriu com:
si, P (AMZN i DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
llavors, P (AMZN | DJIA) = [P (AMZN) x P (DJIA | AMZN)] / P (DJIA).
Quan P (AMZN) i P (DJIA) són les probabilitats d'Amazon i el Dow Jones de caure, sense tenir en compte les unes amb les altres.
La fórmula explica la relació entre la probabilitat de la hipòtesi abans de veure l'evidència que P (AMZN) i la probabilitat de la hipòtesi després d'obtenir l'evidència P (AMZN | DJIA), donada una hipòtesi per a Amazon donada evidència a Dow.
Exemple numèric del teorema de Bayes
Com a exemple numèric, imagineu-vos que hi ha un test de drogues que és un 98% exacte, és a dir, un 98% del temps mostra un veritable resultat positiu per a algú que utilitza el fàrmac i el 98% del temps mostra un veritable resultat negatiu per als no usuaris de la droga. A continuació, suposem que el 0, 5% de les persones utilitzen la droga. Si una persona seleccionada a proves aleatòries és positiva per al medicament, es pot fer el següent càlcul per comprovar si la probabilitat que la persona sigui realment un usuari del medicament.
(0, 98 x 0, 005) / [(0, 98 x 0, 005) + ((1 - 0, 98) x (1 - 0, 005))] = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
El teorema de Bayes demostra que, fins i tot si una persona es va mostrar positiva en aquest escenari, és molt més probable que la persona no sigui usuària del fàrmac.
Comparació de comptes d'inversió Nom del proveïdor Descripció del anunciant × Les ofertes que apareixen a aquesta taula provenen de col·laboracions per les quals Investopedia rep una compensació.