Desglossar el model binomial per valorar una opció

Al món financer, els models de valoració de les opcions binòmiques i negres són dos dels conceptes més importants de la teoria financera moderna. Ambdues s’utilitzen per valorar una opció i cadascuna té els seus propis avantatges i desavantatges.

Alguns dels avantatges bàsics d’utilitzar el model binomial són:

• una visualització de diversos períodes
• transparència
• capacitat d’incorporar probabilitats

En aquest article, explorarem els avantatges d’utilitzar el model binomial en lloc del model de Black-Scholes i proporcionarem alguns passos bàsics per desenvolupar el model i explicarem com s’utilitza.

Visualització de diversos períodes

El model binomial ofereix una visió de diversos períodes del preu de l’actiu subjacent així com del preu de l’opció. En contrast amb el model de Black-Scholes, que proporciona un resultat numèric basat en entrades, el model binomial permet el càlcul de l’actiu i l’opció per a diversos períodes juntament amb el rang de resultats possibles per a cada període (vegeu més avall).

L’avantatge d’aquesta visió de diversos períodes és que l’usuari pot visualitzar el canvi del preu de l’actiu de període en període i avaluar l’opció en funció de decisions preses en diferents moments. Per a una opció basada en Estats Units, que es pot exercir en qualsevol moment abans de la data de caducitat, el model binomial pot proporcionar informació sobre quan es pot aconsellar i quan s'ha de mantenir durant períodes més llargs. Si es mira l’arbre binomial dels valors, un comerciant pot determinar amb antelació quan es pot produir una decisió sobre un exercici. Si l’opció té un valor positiu, hi ha la possibilitat d’exercir mentre que, si l’opció té un valor inferior a zero, s’hauria de mantenir durant períodes més llargs.

Transparència

Estretament relacionada amb la revisió de diversos períodes, la capacitat del model binomial de proporcionar transparència al valor subjacent de l’actiu i a l’opció a mesura que avança el temps. El model de Black-Scholes té cinc entrades:

1. La taxa sense risc
2. El preu de l’exercici
3. El preu actual de l’actiu
4. Temps fins a la maduresa
5. Volatilitat implícita del preu de l’actiu

Quan aquests punts de dades s’introdueixen en un model de Black-Scholes, el model calcula un valor per a l’opció, però els impactes d’aquests factors no es revelen periòdicament. Amb el model binomial, un comerciant pot veure el canvi del preu de l’actiu subjacent de període a període i el canvi corresponent del preu d’opció.

Incorporació de probabilitats

El mètode bàsic per calcular el model d’opció binomial és utilitzar la mateixa probabilitat cada període d’èxit i fracàs fins que l’opció caduca. Tanmateix, un comerciant pot incorporar diferents probabilitats per a cada període a partir de la informació nova que s’obté amb el pas del temps.

Per exemple, pot ser que hi hagi una possibilitat de 50/50 que el preu dels actius subjacents pugui augmentar o disminuir un 30 per cent en un període. En el segon període, però, la probabilitat que el preu dels actius subjacents augmenti pot créixer fins a 70/30. Per exemple, si un inversor està avaluant un pou de petroli, aquest inversor no està segur de quin és el valor d'aquest pou de petroli, però hi ha una possibilitat de 50/50 que el preu augmenti. Si el preu del petroli augmenta el període 1 fent que el petroli sigui més valuós i els fonaments del mercat ara apuntin a un augment continuat dels preus del petroli, la probabilitat d’apreciació del preu pot ser ara del 70 per cent. El model binomial permet aquesta flexibilitat; el model de Black-Scholes no ho fa.

Desenvolupament del model

El model binomial més senzill tindrà dos rendiments previstos les probabilitats dels quals se sumen fins al 100 per cent. En el nostre exemple, hi ha dos possibles resultats per al pou de petroli a cada moment. Una versió més complexa podria tenir tres o més resultats diferents, a cadascun dels quals se’ls dóna una probabilitat d’aparició.

Per calcular les rendibilitats per període a partir del temps zero (ara), hem de fer una determinació del valor de l’actiu subjacent un període a partir d’ara. En aquest exemple, suposem el següent:

• Preu de l’actiu subjacent (P): 500 dòlars
• Preu d’exercici de l’opció de trucada (K): 600 dòlars
• Taxa sense risc per al període: 1 per cent
• Canvi de preus cada període: 30 per cent més o menys

El preu de l’actiu subjacent és de 500 dòlars i, en el període 1, pot valer 650 $ o 350 dòlars. Això seria l'equivalent a un augment o decreixement del 30 per cent en un període. Com que el preu d’exercici de les opcions de trucada que mantenim és de 600 dòlars, si l’actiu subjacent acaba sent inferior a 600 dòlars, el valor de l’opció de trucada seria zero. D’altra banda, si l’acte subjacent supera el preu d’exercici de 600 dòlars, el valor de l’opció de trucada seria la diferència entre el preu de l’actiu subjacent i el preu d’exercici. La fórmula d’aquest càlcul és [màx (PK), 0].

max [(P − K), 0] on: P = Preu de l’actiu subjacentK = Preu de l’exercici de l’opció de trucada \ begin {align} & \ max {\ left [\ left (PK \ right), 0 \ right]} \ \ \\ & \ textbf {on:} \\ & P = \ text {Preu de l'actiu subjacent} \\ & K = \ text {Preu de l'exercici de l'opció de trucada} \\ \ end {alineat} max [(P − K), 0] on: P = Preu de l’actiu subjacentK = Preu d’exercici de l’opció de trucada

Suposem que hi ha un 50 per cent de probabilitats de pujar i un 50% de possibilitat de baixar. Utilitzant com a exemple els valors del Període 1, es calcula com

màxim [($ 650– $ 600), 0] ∗ 0, 5 + màxim [(350 $ - 600 $), 0] ∗ 0, 5 = 50 $ ∗ 0, 5 + $ 0 = 25 $ \ begin {align} i \ max {\ left [\ left (\ 650 $ - \ $ 600 \ right), 0 \ right]} * 0, 5+ \ max {\ left [\ left (\ $ 350 - \ $ 600 \ right), 0 \ right]} * 0, 5 \\ & = \ $ 50 * 0, 5 + \ $ 0 = \ $ 25 \\ \ end {alineat} màxim [(650 $ $ 600), 0] ∗ 0, 5 + màxim [(350 $ 600 $), 0] ∗ 0, 5 = 50 $ ∗ 0, 5 + $ 0 = 25 dòlars

Per obtenir el valor actual de l’opció de trucada, hem de descomptar els 25 dòlars del període 1 al període 0, és a dir

25 $ / (1 + 1%) = 24, 75 $ \ 25 $ / \ esquerra (1 + 1 \% \ right) = \ 24, 75 $ 25 / / (1 + 1%) = 24, 75 $

Ara veieu que si s’alteren les probabilitats, el valor esperat de l’actiu subjacent també canviarà. Si s'ha de canviar la probabilitat, també es pot canviar per a cada període posterior i no necessàriament ha de romandre igual a tot.

El model del binomi es pot estendre fàcilment a diversos períodes. Tot i que el model de Black-Scholes pot calcular el resultat d’una data de caducitat prorrogada, el model binomial amplia els punts de decisió a diversos períodes.

Usos per al model binomial

A més del seu ús com a mètode per calcular el valor d’una opció, el model binomial també es pot utilitzar per a projectes o inversions amb un alt grau d’incertesa, decisions de pressupost de capital i d’assignació de recursos i projectes amb múltiples períodes o una opció incrustada per continuar o abandonar el projecte en determinats moments.

Un exemple senzill és un projecte que comporta una perforació per al petroli. La incertesa d’aquest tipus de projecte sobre si la terra que es perfora té algun petroli, la quantitat de petroli que es pot foradar, si es troba el petroli i el preu al qual es pot vendre un cop extret.

El model d’opció binomial pot ajudar a prendre decisions en cada punt del projecte de perforació d’oli. Per exemple, suposem que decidim perforar, però el bé del petroli només serà rendible si trobem prou petroli i el preu del petroli superi una certa quantitat. Es necessitarà un període complet per determinar la quantitat de petroli que podem extreure, així com el preu del petroli en aquell moment. Després del primer període (un any, per exemple), podem decidir en funció d’aquests dos punts de dades si continuar perforant o abandonar el projecte. Aquestes decisions es poden prendre contínuament fins que s’arribi a un punt on no tingui cap valor de perforació, moment en què s’abandonarà el pou.

La línia de fons

El model binomial ofereix una visió més detallada, permetent visualitzar diversos períodes sobre el preu subjacent de l’actiu i el preu de l’opció per a diversos períodes, així com el rang de resultats possibles per a cada període. Tot i que tant el model de Black-Scholes com el model binomial es poden utilitzar per valorar les opcions, el model binomial té una gamma d’aplicacions més àmplia, és més intuïtiu i és més fàcil d’utilitzar.