Exploració de la mitjana mòbil ponderada exponencialment
La volatilitat és la mesura de risc més comuna, però presenta diversos sabors. En un article anterior, vam mostrar com calcular una simple volatilitat històrica. En aquest article, millorarem la volatilitat simple i comentarem la mitjana mòbil ponderada exponencialment (EWMA).
Volatilitat històrica vs implícita
Primer, posem aquesta mètrica en una mica de perspectiva. Hi ha dos enfocaments amplis: la volatilitat històrica i implícita (o implícita). El plantejament històric suposa que el passat és pròleg; mesurem la història amb l’esperança que sigui predictiu. La volatilitat implícita, en canvi, ignora la història; resol la volatilitat que comporten els preus de mercat. Espera que el mercat sàpiga millor i que el preu de mercat contingui, encara que sigui implícit, una estimació consensuada de volatilitat.
Si ens centrem només en els tres enfocaments històrics (a l'esquerra superior), tenen dos passos en comú:
- Calculeu la sèrie de rendiments periòdics
- Apliqueu un esquema de ponderació
Primer calculem la rendibilitat periòdica. Es tracta normalment d’una sèrie de devolucions diàries en què cada devolució s’expressa de manera contínua. Per a cada dia, fem un registre natural de la relació de preus de les accions (és a dir, el preu avui dividit en el preu d'ahir, etc.).
ui = lnsisi − 1where: ui = retorn del dia isi = preu de les accions el dia isi − 1 = preu de les accions el dia abans del dia i \ begin {alineat} & u_i = ln \ frac {s_i} {s_ {i - 1}} \\ & \ textbf {on:} \\ & u_i = \ text {tornar el dia} i \\ & s_i = \ text {preu de les accions el dia} i \\ & s_ {i - 1} = \ text {preu de les accions el dia abans del dia} i \\ \ end {alineat} ui = lnsi − 1 si on: ui = retorn del dia isi = preu de les accions el dia isi − 1 = preu de les accions el dia abans del dia i
Això produeix una sèrie de rendiments diaris, de u i a u im, segons quants dies (m = dies) estem mesurant.
Això ens porta al segon pas: aquí és on difereixen els tres enfocaments. A l’article anterior, vam demostrar que, sota un parell de simplificacions acceptables, la simple variació és la mitjana dels rendiments quadrats:
variance = σn2 = 1mΣi = 1mun − 12 on: m = nombre de dies mesurat = dayiu = diferència de retorn de la mitjana de retorn \ begin {align} & \ text {variance} = \ sigma ^ 2_n = \ frac {1} { m} \ Sigma ^ m_ {i = 1} u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {on:} \\ & m = \ text {nombre de dies mesurats} \\ & n = \ text {day} i \\ & u = \ text {diferència de retorn del retorn mitjà} \\ \ end {align} variança = σn2 = m1 Σi = 1m un − 12 on: m = nombre de dies mesurats = dayiu = diferència de retorn de la rendibilitat mitjana
Tingueu en compte que això suma cadascun dels rendiments periòdics i, a continuació, divideix aquest total pel nombre de dies o observacions (m). Per tant, realment és només una mitjana de les rendiments periòdics quadrats. Dit d'una altra manera, a cada tornada quadrada se li dóna un pes igual. Així, si alfa (a) és un factor de ponderació (específicament, a = 1 / m), una simple variació sembla una cosa així:
L'EWMA millora en la variant simple
La debilitat d’aquest plantejament és que tots els rendiments guanyen el mateix pes. La rendibilitat d’ahir (molt recent) no té més influència en la variació que la devolució del mes passat. Aquest problema es soluciona mitjançant la mitjana mòbil ponderada exponencialment (EWMA), en què els rendiments més recents tenen un pes més gran en la variància.
La mitjana mòbil ponderada exponencialment (EWMA) introdueix lambda, que s’anomena paràmetre de suavització. Lambda ha de ser menys d’un. Sota aquesta condició, en lloc de pesos iguals, cada retorn quadrat es pondera amb un multiplicador de la manera següent:
Per exemple, RiskMetrics TM , una empresa de gestió de riscos financers, sol utilitzar un lambda del 0, 94, o del 94%. En aquest cas, el primer retorn (més recent) quadrat periòdic està ponderat amb (1-0.94) (. 94) 0 = 6%. El següent retorn quadrat és simplement una lambda-múltiple del pes anterior; en aquest cas, un 6% multiplicat per un 94% = 5, 64%. I el pes del tercer dia anterior és igual (1-094) (0, 94) 2 = 5, 30%.
Aquest és el significat de "exponencial" en EWMA: cada pes és un multiplicador constant (és a dir, lambda, que ha de ser inferior a un) del pes del dia anterior. D’aquesta manera es garanteix una diferència ponderada o esbiaixada cap a dades més recents. A continuació, es mostra la diferència entre la simple volatilitat i EWMA per a Google.
La volatilitat simple pesa efectivament tots els rendiments periòdics del 0, 196%, tal com es mostra a la columna O (teníem dos anys de dades del preu de les accions diàries. És a dir, 509 rendiments diaris i 1/509 = 0, 196%). Tingueu en compte que la columna P assigna un pes del 6%, del 5, 64% i del 5, 3%, etc. Aquesta és l’única diferència entre simple variació i EWMA.
Recordeu-vos: després de sumar tota la sèrie (a la columna Q) tenim la variància, que és el quadrat de la desviació estàndard. Si volem volatilitat, hem de recordar l’arrel quadrada d’aquesta variància.
Quina diferència hi ha en la volatilitat diària entre la variància i l'EWMA en el cas de Google ">
La variació actual és una funció de la variació del dia anterior
Haureu notat que calia calcular una llarga sèrie de pesos en declivi exponencial. No farem les matemàtiques aquí, però una de les millors característiques de l'EWMA és que tota la sèrie es redueix convenientment a una fórmula recursiva:
σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 on: λ = el grau de ponderació disminucióσ2 = valor al període de temps nu2 = valor d'EWMA al període de temps n \ begin {alineat} i \ sigma ^ 2_n (ewma) = \ lambda \ sigma ^ 2_ {n} + (1 - \ lambda) u ^ 2_ {n - 1} \\ & \ textbf {on:} \\ & \ lambda = \ text {el grau de ponderació disminueix} \ \ & \ sigma ^ 2 = \ text {valor en període de temps} n \\ & u ^ 2 = \ text {valor d'EWMA en període de temps} n \\ \ end {alineat} σn2 (ewma) = λσn2 + (1 − λ) un − 12 on: λ = el grau de ponderació disminucióσ2 = valor al període de temps nu2 = valor de l'EWMA al període de temps n
Recursiu significa que les referències de variància actuals (és a dir, és una funció de la variància del dia anterior). També podeu trobar aquesta fórmula en el full de càlcul i produeix el mateix resultat que el càlcul de mà. Diu: la variació actual (sota EWMA) és igual a la variància d’ahir (ponderada per lambda) i la devolució quadrada d’ahir (ponderada per un lambda menys). Tingueu en compte com només estem afegint dos termes junts: la variació ponderada d’ahir i el rendiment quadrat i d’ahir d’ahir.
Tot i així, lambda és el nostre paràmetre suavitzant. Una lambda més elevada (per exemple, com el 94% de RiskMetric) indica una lenta disminució de la sèrie: en termes relatius, tindrem més punts de dades de la sèrie i aniran a "caure" més lentament. D'altra banda, si reduïm la lambda, indiquem major desintegració: els pesos cauen més ràpidament i, com a resultat directe de la ràpida càries, s'utilitzen menys punts de dades. (Al full de càlcul, lambda és una entrada, de manera que podeu experimentar amb la seva sensibilitat).
Resum
La volatilitat és la desviació estàndard instantània d’un estoc i la mètrica de risc més comuna. També és l’arrel quadrada de la variància. Es pot mesurar la variació històricament o implícita (volatilitat implicada). Quan es mesura històricament, el mètode més senzill és la simple variació. Però la debilitat amb una simple variació és que tots els rendiments tenen el mateix pes. Així doncs, ens enfrontem a un compromís clàssic: sempre volem més dades, però quantes més dades, més es dilueix el nostre càlcul per dades llunyanes (menys rellevants). La mitjana mòbil ponderada exponencialment (EWMA) millora en la simple variació assignant pesos als rendiments periòdics. Fent això, tant podem utilitzar una mida de mostra gran, com també donar un pes més gran a rendiments més recents.