Optimitzeu el vostre portafoli amb la distribució normal

La distribució normal és la distribució de probabilitats que plasma tots els seus valors de manera simètrica amb la majoria dels resultats situats al voltant de la mitjana de la probabilitat.

Distribució normal (corba de campana)

Els conjunts de dades (com l’alçada de 100 humans, les notes obtingudes per 45 alumnes d’una classe, etc.) solen tenir molts valors al mateix punt de dades o dins del mateix rang. Aquesta distribució de punts de dades s’anomena distribució de corba normal o de corba.

Per exemple, en un grup de 100 individus, 10 poden estar per sota dels 5 peus d'altura, 65 poden situar entre 5 i 5, 5 peus i 25 poden estar per sobre dels 5, 5 peus. Aquesta distribució enllaçada per rang es pot representar de la següent manera:

De la mateixa manera, els punts de dades representats en gràfics per a un conjunt de dades determinat poden semblar diferents tipus de distribucions. Tres de les distribucions més comunes es distribueixen alineades a l'esquerra, alineades a la dreta i es multipliquen:

Observeu la línia de tendència vermella a cadascun d’aquests gràfics. Això indica aproximadament la tendència de distribució de dades. El primer, "Distribució alineada a esquerra", indica que la majoria dels punts de dades cauen en el rang inferior. Al segon gràfic de "Distribució alineada a la dreta", la majoria de punts de dades cauen al final més alt del rang, mentre que el darrer, "Distribució doblegada", representa un conjunt de dades mixt sense cap tendència clara.

Hi ha molts casos en què la distribució de punts de dades sol estar al voltant d’un valor central, i aquest gràfic mostra una distribució normal perfecta, igualment equilibrada per les dues cares, amb el major nombre de punts de dades concentrats al centre.

Aquí teniu un conjunt de dades perfectament distribuït normalment:

El valor central aquí és 50 (que té el nombre de punts de dades més gran) i la distribució varia de manera uniforme cap a valors finals extrems de 0 i 100 (que tenen el nombre de pocs punts de dades). La distribució normal és simètrica al voltant del valor central amb la meitat dels valors de cada costat.

Molts exemples de la vida real s’ajusten a la distribució de la corba de campana:

• Tireu una moneda justa moltes vegades (diguem-ne 100 vegades o més) i obtindreu una distribució normal equilibrada dels caps i les restes.
• Enrotlleu un parell de daus justos moltes vegades (diguem-ne 100 vegades o més) i el resultat serà una distribució normal equilibrada i centrada al voltant del número 7 i estrenyent uniformement cap a valors extrems de 2 i 12.
• L’alçada dels individus d’un grup de mida considerable i les notes obtingudes per persones d’una classe segueixen els patrons normals de distribució.
• En finances, canvis en els valors del registre Les taxes de divises, els índexs de preus i els preus de les accions es distribueixen normalment.

Riscos i rendiments

Qualsevol inversió té dos aspectes: risc i rendibilitat. Els inversors busquen el menor risc possible per obtenir un major rendiment possible. La distribució normal quantifica aquests dos aspectes per mitjà de rendiments i desviació estàndard per al risc. (Per a més informació, vegeu "Anàlisi de la variació mitjana").

Valor mitjà o esperat

Una variació mitjana particular del preu d'una acció podria ser de l'1, 5% cada dia, cosa que significa, de mitjana, un 1, 5%. Es pot arribar a aquest valor mitjà o a la rendibilitat que significa la rendibilitat calculant la mitjana d'un conjunt de dades prou gran que conté canvis històrics de preus històrics diaris. Com més alta sigui la mitjana, millor.

Desviació estàndar

La desviació estàndard indica la quantitat per la qual els valors es desvien de mitjana de la mitjana. Com més gran sigui la desviació estàndard, més gran serà la inversió, ja que comporta més incertesa.

Aquí hi ha una representació gràfica de la mateixa:

Per tant, la representació gràfica de la distribució normal mitjançant la seva mitjana i desviació estàndard permet representar tant rendiments com riscos dins d’un rang clarament definit.

Ajuda a saber (i ens assegura amb certesa) que si algun conjunt de dades segueix el patró de distribució normal, la seva mitjana ens permetrà saber què torna a esperar i que la seva desviació estàndard ens permetrà saber que al voltant del 68% dels valors estarà dins d'una desviació estàndard, el 95% dins de dues desviacions estàndard i el 99% dels valors se situaran dins de 3 desviacions estàndard. Un conjunt de dades amb una mitjana d’1, 5 i una desviació estàndard d’1 és molt més arriscat que un altre conjunt de dades amb una mitjana de 1, 5 i una desviació estàndard de 0, 1.

Conèixer aquests valors per a cada actiu seleccionat (és a dir, accions, bons i fons) farà que un inversor tingui coneixement dels rendiments i riscos previstos.

És fàcil aplicar aquest concepte i representar el risc i el rendiment d’una sola acció, obligació o fons. Però es pot estendre a una cartera de múltiples actius ">

Les persones físiques comencen a negociar comprant una sola acció o bons o invertint en un fons mutu. Gradualment, solen augmentar les seves participacions i comprar diverses accions, fons o altres actius, creant així una cartera. En aquest escenari incremental, els individus creen els seus portafolis sense una estratègia ni gaire previsions. Els gestors professionals, els comerciants i els fabricants de mercats segueixen un mètode sistemàtic per construir la seva cartera mitjançant un enfocament matemàtic anomenat teoria moderna de carteres (MPT) que es basa en el concepte de "distribució normal".

Teoria de cartera moderna

La teoria moderna de carteres (MPT) ofereix un enfocament matemàtic sistemàtic que té com a objectiu maximitzar el rendiment esperat d’una cartera per a una quantitat determinada de risc de cartera seleccionant les proporcions de diversos actius. De forma alternativa, també ofereix minimitzar el risc per a un nivell determinat de rendibilitat esperat.

Per assolir aquest objectiu, els actius que s’han d’incloure a la cartera no s’han de seleccionar només en funció del seu propi mèrit individual, sinó en funció de com actuarà cada actiu en relació amb els altres actius de la cartera.

En poques paraules, MPT defineix com aconseguir la diversificació de la cartera per obtenir els millors resultats possibles: rendiments màxims per a un nivell de risc acceptable o mínim per a un nivell de rendiments desitjat.

Els blocs de construcció

La MPT va ser un concepte tan revolucionari quan es va introduir que els seus inventors van guanyar un premi Noble. Aquesta teoria va proporcionar una fórmula matemàtica amb èxit per guiar la diversificació en inversions.

La diversificació és una tècnica de gestió de riscos, que elimina el risc de "tots els ous d'una cistella" mitjançant la inversió en existències, sectors o classes d'actius no correlacionats. L’ideal és que el rendiment positiu d’un actiu a la cartera anul·larà el rendiment negatiu d’altres actius.

Per obtenir la rendibilitat mitjana de la cartera que compta amb diversos actius, es calcula la combinació ponderada proporcionalment dels rendiments dels actius constituents.

A causa de la naturalesa dels càlculs estadístics i de la distribució normal, el rendiment global de la cartera (R _p ) es calcula com:

Rp = ∑wiRiR_p = \ sum {w_iR_i} Rp = ∑wi Ri

La suma (∑), on w _i és el pes proporcional de l’actiu i a la cartera, R _i és la rendibilitat (mitjana) de l’actiu i.

El risc de cartera (o desviació estàndard) és una funció de les correlacions dels actius inclosos, per a totes les parelles d’actius (respecte de l’altra a la parella).

A causa de la naturalesa dels càlculs estadístics i la distribució normal, el risc global de cartera (Std-dev) _p es calcula com:

(Std − dev) p = sqrt [∑i∑jwiwj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)] \ begin {align} i \ left (Std-dev \ right) _p = \ \ & sqrt \ left [\ sum_i \ sum_j {w_i} {w_j} \ left (std-dev \ right) _i \ left (std-dev \ right) _j \ left (cor-cof_ {ij} \ right) \ right] \\ \ end {align} (Std − dev) p = sqrt [i∑ j∑ wi wj (std − dev) i (std − dev) j (cor − cofij)]

Aquí, cor-cof és el coeficient de correlació entre els rendiments dels actius i i, i sqrt és l’arrel quadrada.

Aquesta té cura del rendiment relatiu de cada actiu respecte de l’altre.

Tot i que això sembla matemàticament complex, el concepte senzill aplicat aquí inclou no només les desviacions estàndard dels actius individuals, sinó també els relacionats els uns amb els altres.

Un bon exemple està disponible aquí a la Universitat de Washington.

Un exemple ràpid de MPT

Com a experiment de pensament, imaginem que som un gestor de cartera a qui se li ha donat capital i té l’encàrrec de quant s’ha de destinar capital a dos actius disponibles (A & B) de manera que es redueixi al màxim el rendiment esperat i es redueixi el risc.

També tenim els següents valors disponibles:

R _a = 0, 175

R _b = 0, 055

(Std-dev) _a = 0, 258

(Std-dev) _b = 0, 115

(Std-dev) _ab = -0.004875

(Cor-cof) _ab = -0, 164

A partir d’una assignació igual a 50-50 a cada actiu A & B, la R _p calcula a 0, 115 i (Std-dev) _p arriba a 0, 1323. Una simple comparació ens indica que per a aquesta cartera de dos actius, la rendibilitat i el risc es troben a mig camí entre els valors individuals de cada actiu.

Tot i això, el nostre objectiu és millorar el rendiment de la cartera més enllà de la simple mitjana de tots els actius individuals i reduir el risc, de manera que sigui inferior a la dels actius individuals.

Prenguem ara una posició d’assignació de capital d’1, 5 en l’actiu A i una posició d’assignació de capital de -0, 5 en l’actiu B. (L’assignació de capital negatiu significa escurçar aquell estoc i capital rebut s’utilitza per comprar el superàvit de l’altre actiu amb una assignació de capital positiva. és a dir, escurçem l'acció B per 0, 5 vegades de capital i fem servir aquests diners per comprar l'acció A per un valor de 1, 5 vegades més.)

Utilitzant aquests valors, obtenim R _p com 0.1604 i (Std-dev) _p com 0.4005.

De la mateixa manera, podem continuar utilitzant diferents pesos d’assignació a l’actiu A & B, i arribar a diferents conjunts de Rp i (Std-dev) pàg. Segons el retorn desitjat (Rp), es pot triar el nivell de risc més acceptable (std-dev) p. Alternativament, per al nivell de risc desitjat, es pot seleccionar el millor rendiment de la cartera disponible. De qualsevol forma, mitjançant aquest model matemàtic de la teoria de la cartera, és possible complir l’objectiu de crear una cartera eficient amb la combinació de risc i rendibilitat desitjada.

L’ús d’eines automatitzades permet detectar fàcilment i fàcilment les millors proporcions possibles assignades, sense necessitat de llargs càlculs manuals.

La frontera eficient, el model de preus de capital patrimonial (CAPM) i la fixació de preus d'actius mitjançant MPT també evolucionen des del mateix model de distribució normal i són una extensió a MPT.

Reptes per a la MPT (i la distribució normal subjacent)

Malauradament, cap model matemàtic és perfecte i cadascuna té insuficiències i limitacions.

El supòsit bàsic que els rendiments dels preus de les accions segueixen la distribució normal es qüestiona una i altra vegada. Hi ha una prova empírica suficient de casos en què els valors no s’ajusten a la distribució normal assumida. Basar models complexos en aquests supòsits pot comportar resultats amb grans desviacions.

Aprofundint en la MPT, els càlculs i hipòtesis sobre el coeficient de correlació i la covariància que es mantenen fixats (basats en dades històriques) pot ser que no necessàriament siguin certs per als valors esperats futurs. Per exemple, els mercats borsaris i borsaris van mostrar una perfecta correlació en el mercat britànic del període 2001 al 2004, on els rendiments d’ambdós actius van disminuir simultàniament. En realitat, la inversa s'ha observat durant llargs períodes històrics anteriors a 2001.

En aquest model matemàtic no es té en compte el comportament dels inversors. Es deixen de banda els impostos i els costos de transacció, tot i que se suposa l'assignació de capital fraccionada i la possibilitat d'escurçar actius.

En realitat, cap d’aquestes hipòtesis pot ser certa, cosa que significa que els rendiments financers realitzats poden diferir significativament dels beneficis previstos.

La línia de fons

Els models matemàtics proporcionen un bon mecanisme per quantificar algunes variables amb nombres únics i rastrejables. Però, a causa de les limitacions de les suposicions, els models poden fallar.

La distribució normal, que forma la base de la teoria de la cartera, pot no ser necessàriament aplicable a les accions i altres patrons de preus dels actius financers. La teoria de la cartera en si mateixa té molts supòsits que haurien de ser examinats críticament abans de prendre decisions financeres importants.