Comprensió del valor dels diners en temps

Enhorabona !!! Has guanyat un premi en metàl·lic! Teniu dues opcions de pagament: A: Rebreu 10.000 dòlars ara o B: rebeu 10.000 dòlars en tres anys. Quina opció escolliríeu?

Quin és el valor del temps per diners

Si us agrada la majoria de la gent, escollireu rebre ara 10.000 dòlars. Al cap i a la fi, tres anys és molt d’esperar. Per què qualsevol persona racional ajornaria el pagament en el futur quan pugui tenir la mateixa quantitat de diners ara? Per a la majoria de nosaltres, agafar diners en el present és simplement instintiu. Així, al nivell més bàsic, el valor del temps en diners demostra que totes les coses són iguals, sembla millor tenir diners ara que més tard.

Però, per què és això? Una factura de 100 dòlars té el mateix valor que una factura de 100 dòlars un any ençà, no? En realitat, tot i que la factura és la mateixa, podeu guanyar molt més amb els diners si la teniu ara perquè amb el temps podeu guanyar més interès pels vostres diners.

Torneu al nostre exemple: En rebre 10.000 dòlars avui, us permetrà augmentar el valor futur dels vostres diners invertint i guanyant interès durant un període de temps. Per a l’opció B, no teniu temps de la vostra part i el pagament rebut en tres anys seria el vostre valor futur. Per il·lustrar, hem proporcionat una línia de temps:

Si trieu l’opció A, el vostre valor futur serà de 10.000 dòlars més qualsevol interès adquirit durant els tres anys. El valor futur de l’opció B, d’altra banda, només seria de 10.000 dòlars. Llavors, com es pot calcular exactament quant val més l’ opció A en comparació amb l’opció B? Fem una ullada.

Fonaments bàsics del valor futur

Si trieu l’opció A i invertiu l’import total a una taxa anual simple del 4, 5%, el valor futur de la vostra inversió al final del primer any és de 10.450 dòlars. Arribem a aquesta suma multiplicant l’import principal de 10.000 dòlars per la taxa d’interès del 4, 5% i, després, afegim l’interès obtingut a l’import principal:

10.000 dòlars × 0, 045 = 450 $ \ begin {alineats} i \ 10.000 $ \ vegades 0, 045 = \ 450 $ \\ \ end {alineat} 10.000 × 0, 045 = 450 $

450 $ + 10.000 $ = 10.450 $ \ begin {align} i \ $ 450 + \ 10.000 $ = \ 10.450 $ \\ \ end {alineats} 450 $ + 10.000 $ = 10.450 $

També podeu calcular l’import total d’una inversió d’un any amb una simple manipulació de l’equació anterior:

OE = ($ 10.000 × 0.045) + 10.000 $ = 10.450 $ allà on: OE = Equació original \ begin {align} & \ text {OE} = (\ 10.000 $ \ vegades 0.045) + \ 10.000 $ = \ 10.450 $ \\ & \ textbf {on :} \\ & \ text {OE} = \ text {Equació original} \\ \ end {alineada} OE = ($ 10.000 × 0.045) + 10.000 $ = 10.450 $ on: OE = Equació original

Manipulació = 10.000 $ × [(1 × 0.045) +1] = 10.450 $ \ begin {align} & \ text {Manipulation} = \ 10.000 $ \ times [(1 \ times 0.045) + 1] = \ 10.450 $ \\ \ end { alineat} Manipulació = 10.000 $ × [(1 × 0, 045) +1] = 10, 450 $

Equació final = 10.000 $ × (0, 045 + 1) = 10, 450 $ \ begin {align} & \ text {Equation Final} = \ 10 000 $ \ vegades (0, 045 + 1) = \ 10, 450 $ \\ \ end {alineat} Equació final = 10 000 $ × (0, 045 + 1) = 10.450 $

L’equació manipulada anteriorment és simplement una eliminació de la variable similar 10.000 dòlars (l’import principal) dividint tota l’equació original per 10.000 dòlars.

Si els 10.450 dòlars que resten al vostre compte d’inversió al final del primer any es deixen de tocar i l’invertiu en un 4, 5% durant un altre any, quant en tindríeu? Per calcular-ho, trauríeu els 10.450 dòlars i la multiplicaríeu de nou per 1.045 (0.045 +1). Al cap de dos anys, tindríeu 10.920, 25 dòlars.

Càlcul del valor futur

El càlcul anterior, aleshores, equival a l'equació següent:

Valor futur = 10.000 dòlars × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045) \ begin {align} & \ text {Future Value} = \ 10.000 $ \ times (1 + 0, 045) \ times (1 + 0, 045) \\ \ end {alineat} Valor futur = 10.000 dòlars × (1 + 0, 045) × (1 + 0, 045)

Penseu en la classe de matemàtiques i la regla dels exponents, que estableix que la multiplicació de termes similars equival a afegir els seus exponents. En l'equació anterior, els dos termes similars són (1+ 0, 045) i l'exponent de cadascun és igual a 1. Per tant, l'equació es pot representar com:

Valor futur = 10.000 $ × (1 + 0, 045) 2 \ begin {alineat} i \ text {Valor futur} = \ 10.000 $ \ vegades (1 + 0, 045) ^ 2 \\ \ end {alineat} Valor futur = 10.000 $ × ( 1 + 0, 045) 2

Podem veure que l’exponent és igual al nombre d’anys durant els quals els diners guanyen interès en una inversió. Així, l'equació per calcular el valor futur a tres anys de la inversió seria com aquesta:

Valor futur = 10.000 $ × (1 + 0, 045) 3 \ begin {alineat} i \ text {Valor futur} = \ 10.000 $ \ vegades (1 + 0, 045) ^ 3 \\ \ end {alineat} Valor futur = 10.000 $ × ( 1 + 0, 045) 3

Tanmateix, no cal seguir calculant el valor futur després del primer any, després del segon any, després del tercer any, etc. Pots dir-ho tot alhora, per dir-ho. Si coneixeu la quantitat actual de diners que teniu en una inversió, la seva taxa de rendibilitat i quants anys voldríeu tenir aquesta inversió, podeu calcular el valor futur (FV) d'aquesta quantitat. Es fa amb l'equació:

FV = PV × (1 + i) a qualsevol lloc: FV = Valor futurPV = Valor actual (quantitat original de diners) i = Tipus d’interès per periodn = Nombre de períodes \ begin {align} & \ text {FV} = \ text { PV} \ times (1 + i) ^ n \\ & \ textbf {where:} \\ & \ text {FV} = \ text {Valor futur} \\ & \ text {PV} = \ text {Valor actual ( quantitat de diners original)} \\ & i = \ text {Tipus d'interès per període} \\ & n = \ text {Nombre de períodes} \\ \ end {alineat} FV = PV × (1 + i) a qualsevol lloc: FV = Valor futurPV = Valor actual (quantitat original de diners) i = Tipus d’interès per periodn = Nombre de períodes

Conceptes bàsics del valor actual

Si haguessis rebut avui 10.000 dòlars, el seu valor actual seria, per descomptat, 10.000 dòlars, perquè el valor actual és el que et proporciona la inversió si l’hauries de gastar avui. Si rebeu 10.000 dòlars en un any, el valor actual de l’import no seria de 10.000 dòlars, perquè no el teniu a la mà ara.

Per trobar el valor actual dels 10.000 dòlars que rebrà en el futur, haureu de fingir que els 10.000 dòlars són el valor futur total d’una quantitat que ha invertit avui. Dit d’una altra manera, per trobar el valor actual dels futurs 10.000 dòlars, hem d’esbrinar quant hauríem d’invertir avui per rebre aquests 10.000 dòlars en un any.

Per calcular el valor actual o l’import que hauríem d’invertir avui, cal restar els interessos (hipotètics) acumulats als 10.000 dòlars. Per aconseguir-ho, podem descomptar l’import del pagament futur (10.000 dòlars) pel tipus d’interès del període. En essència, tot el que esteu fent és reorganitzar l’equació de valor futura anterior, de manera que podreu resoldre el valor actual (PV). L'equació del valor futur anterior es pot reescriure de la manera següent:

PV = FV (1 + i) n \ begin {align} & \ text {PV} = \ frac {\ text {FV}} {(1 + i) ^ n} \\ \ end {alineat} PV = (1 + i) nFV

Una equació alternativa seria:

PV = FV × (1 + i) −en on: PV = Valor actual (quantitat de diners original) FV = Valor futuri = Tipus d’interès per periodn = Nombre de períodes \ begin {align} & \ text {PV} = \ text {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ & \ textbf {on:} \\ & \ text {PV} = \ text {Valor actual (quantitat original de diners)} \\ & \ text {FV} = \ text {Valor futur} \\ & i = \ text {Tipus d'interès per període} \\ & n = \ text {Nombre de períodes} \\ \ end {alineat} PV = FV × (1 + i) −en lloc: PV = Valor actual (quantitat original de diners) FV = Valor futur = Tipus d'interès per periodn = Nombre de períodes

Càlcul del valor actual

Avancem enrere pels 10.000 dòlars que s’ofereixen a l’opció B. Recordeu que els 10.000 dòlars que s’hauran de rebre en tres anys són realment els mateixos que el valor futur d’una inversió. Si tinguéssim un any per passar abans, aconseguirem descomptar el pagament un any. Utilitzant la nostra fórmula de valor actual (versió 2), a la marca actual de dos anys, el valor actual dels 10.000 dòlars a rebre en un any seria de 10.000 x $ (1 + 0, 045) ^-1 = 9569, 38 $.

Tingueu en compte que si avui estiguéssim a la marca d’un any, els 9.569, 38 dòlars anteriors es consideraran el valor futur de la nostra inversió d’aquí un any.

Continuant endavant, al final del primer any hauríem de rebre el pagament de 10.000 dòlars en dos anys. A un tipus d’interès del 4, 5%, el càlcul del valor actual d’un pagament de 10.000 dòlars previst en dos anys seria de 10.000 x $ (1 + 0, 045) ^-2 = 9157, 30 dòlars.

Per descomptat, a causa de la regla dels exponents, no hem de calcular el valor futur de la inversió cada any comptant a partir de la inversió de 10.000 dòlars del tercer any. Podríem posar l’equació de manera més concisa i utilitzar els 10.000 dòlars com a FV. Així, aquí es mostra com es pot calcular el valor actual actual dels 10.000 dòlars previstos per una inversió de tres anys que guanyi un 4, 5%:

8.762, 97 $ = 10.000 $ × (1 + 0, 045) −3 \ begin {alineat} i \ $ 8, 762, 97 = \ 10 000 $ \ vegades (1 + 0, 045) ^ {- 3} \\ \ end {alineat} 8.762, 97 $ = 10.000 × 1 + .045) −3

Així, el valor actual d'un futur pagament de 10.000 dòlars val avui 8.762, 97 dòlars si els tipus d'interès són del 4, 5% anual. Dit d’una altra manera, escollir l’opció B és com agafar 8.762, 97 dòlars ara i després invertir-la durant tres anys. Les equacions anteriors il·lustren que l’opció A és millor no només perquè us ofereix diners ara mateix, sinó perquè us ofereix 1.237, 03 dòlars (10.000 $ - 8.762, 97 $) més en efectiu. A més, si invertiu els 10.000 dòlars que rebeu de l’opció A, la vostra elecció us proporcionarà un valor futur que sigui de 1.411, 66 dòlars (11.411, 66 $ - 10.000 dòlars) superior al valor futur de l’opció B.

Valor actual d’un pagament futur

Anem a l’informació de la nostra oferta. Què passa si el futur pagament és superior a l’import que rebríeu de seguida? Diguem que podríeu rebre avui 15.000 dòlars o 18.000 dòlars en quatre anys. La decisió ara és més difícil. Si trieu avui a rebre 15.000 dòlars i invertir l’import complet, en realitat podríeu acabar amb una quantitat d’efectiu en quatre anys inferior a 18.000 dòlars.

Com decidir? Podríeu trobar el valor futur de 15.000 dòlars, però com que sempre vivim en el present, trobem el valor actual de 18.000 dòlars. Aquesta vegada, suposarem que els tipus d’interès són actualment del 4%. Recordeu que l'equació del valor actual és la següent:

PV = FV × (1 + i) −n \ begin {align} i \ text {PV} = \ text {FV} \ times (1 + i) ^ {- n} \\ \ end {align} PV = FV × (1 + i) n

A l’equació anterior, tot el que fem és descomptar el valor futur d’una inversió. Utilitzant els números anteriors, el valor actual d’un pagament de 18.000 dòlars en quatre anys es calcularia com a 18.000 $ x (1 + 0, 04) ^-4 = 15.386, 48 dòlars.

A partir del càlcul anterior, ja sabem que la nostra elecció és avui entre optar per 15.000 dòlars o 15.386, 48 dòlars. Per descomptat, hauríem de triar ajornar el pagament durant quatre anys.

La línia de fons

Aquests càlculs demostren que el temps és literalment diners: el valor dels diners que teniu ara no és el mateix que ho serà en el futur i viceversa. Per tant, és important saber calcular el valor del temps dels diners per tal de distingir entre la quantitat d’inversions que t’ofereixen rendiments en diferents moments. (Per a informació relacionada, vegeu "Valor del temps dels diners i el dòlar")