Com utilitzar la simulació Monte Carlo amb GBM

Una de les maneres més habituals d’estimar el risc és l’ús d’una simulació de Montecarlo (MCS). Per exemple, per calcular el valor en risc (VaR) d’una cartera, podem executar una simulació de Montecarlo que intenta predir la pitjor pèrdua probable d’una cartera donat un interval de confiança en un horitzó de temps especificat (sempre hem d’especificar dos. condicions de VaR: confiança i horitzó).

En aquest article, revisarem un MCS bàsic aplicat a un preu de borsa mitjançant un dels models més habituals en finances: el moviment Brownian geomètric (GBM). Per tant, mentre que la simulació de Montecarlo pot referir-se a un univers d’enfocaments diferents de la simulació, començarem aquí pel més bàsic.

Per on començar

Una simulació de Montecarlo és un intent de predir el futur moltes vegades. Al final de la simulació, milers o milions d’assajos aleatoris produeixen una distribució de resultats analitzables. Els passos bàsics són els següents:

1. Especifiqueu un model (per exemple, GBM)

Per a aquest article, utilitzarem el Geometric Brownian Motion (GBM), que és tècnicament un procés de Markov. Això significa que el preu de les accions segueix una caminada aleatòria i és coherent (com a mínim) amb la forma feble de la hipòtesi del mercat eficient (EMH): la informació sobre preus passats ja està incorporada i el següent moviment de preus és "condicionalment independent" de moviments de preus passats.

La fórmula de GBM es troba a continuació:

On:

• S = El preu de les accions
• Δ S = El canvi del preu de les accions
• μ = El retorn esperat
• σ = La desviació estàndard dels rendiments
• ϵ = La variable aleatòria
• Δ t = El període de temps transcorregut

Si reorganitzem la fórmula per resoldre només la variació del preu de les accions, veiem que GBM diu que la variació del preu de les accions és el preu de les accions "S" multiplicat pels dos termes que es troben dins del parèntesi següent:

El primer terme és "deriva" i el segon terme "xoc". Per a cada període de temps, el nostre model assumeix que el preu "augmentarà" pel retorn esperat. Però la deriva serà xocada (sumada o restada) per un xoc aleatori. El xoc aleatori serà la desviació estàndard "s" multiplicada per un nombre aleatori "e". Es tracta simplement d’una manera d’escalfar la desviació estàndard.

Aquesta és l'essència de GBM, tal com es mostra a la figura 1. El preu de les accions segueix una sèrie de passos, on cada pas és una deriva més o menys un xoc aleatori (és una funció de la desviació estàndard de la borsa):

figura 1

2. Genereu proves aleatòries

Armat amb una especificació del model, després procedim a realitzar assaigs aleatoris. Per il·lustrar, hem utilitzat Microsoft Excel per executar 40 assaigs. Tingueu en compte que es tracta d’una mostra poc realista; la majoria de simulacions o "sims" fan almenys diversos milers de proves.

En aquest cas, suposem que l'acció comença el dia zero amb un preu de 10 dòlars. Aquí es mostra un gràfic del resultat en què cada pas (o interval) de temps és d’un dia i la sèrie té una durada de deu dies (en resum: quaranta proves amb passos diaris al llarg de deu dies):

Figura 2: Moviment geomètric marianès

El resultat és de quaranta preus de les accions simulades al cap de deu dies. Cap ha passat per sota dels 9 dòlars, i un està per sobre dels 11 dòlars.

3. Processar la sortida

La simulació va produir una distribució de hipotètics resultats futurs. Podríem fer diverses coses amb la sortida.

Si, per exemple, volem estimar VaR amb un 95% de confiança, només haurem de localitzar el resultat trenta-vuitè (el tercer pitjor resultat). El fet que el 2/40 és igual al 5%, de manera que els dos pitjors resultats se situen en el 5% més baix.

Si apilem els resultats il·lustrats a papereres (cada paperera és un terç de $ 1, de manera que tres papereres cobreixen l'interval de 9 a 10 dòlars), obtindrem el següent histograma:

Figura 3

Recordeu que el nostre model GBM assumeix la normalitat; Les rendibilitats dels preus es distribueixen normalment amb la rendibilitat esperada (mitjana) "m" i la desviació estàndard "s". Curiosament, el nostre histograma no sembla normal. De fet, amb més proves, no tendirà a la normalitat. En lloc d'això, tendirà cap a una distribució lognormal: una forta caiguda a l'esquerra de la mitjana i una "cua llarga" altament inclinada a la dreta de la mitjana.

Això sol conduir a una dinàmica potencialment confusa per als estudiants de primera vegada:

• Les rendibilitats de preus es distribueixen normalment.
• Els nivells de preus es distribueixen normalment en el registre.

Penseu-hi d'aquesta manera: Les accions poden tornar o baixar un 5% o un 10%, però després d'un cert període de temps, el preu de l'acció no pot ser negatiu. A més, els augments de preus a l’inrevés tenen un efecte de disminució, mentre que els preus disminueixen al revés redueixen la base: perdre un 10% i et queda menys per perdre la propera vegada.

A continuació, es mostra un gràfic de la distribució lognormal superposada a les nostres hipòtesis il·lustrades (per exemple, el preu inicial de 10 dòlars):

Figura 4

La línia de fons

Una simulació de Montecarlo aplica un model seleccionat (que especifica el comportament d'un instrument) a un gran conjunt de proves aleatòries per intentar produir un plausible conjunt de possibles resultats futurs. Pel que fa a la simulació dels preus de les accions, el model més comú és el moviment Brownian geomètric (GBM). GBM assumeix que una deriva constant ve acompanyada de xocs aleatoris. Mentre que els rendiments del període sota GBM es distribueixen normalment, els nivells de preus consegüents en diversos períodes (per exemple, deu dies) es distribueixen de forma lognormal.