Utilitzant mètodes comuns de distribució d’existències

Gairebé independentment de la vostra opinió sobre la previsibilitat o l'eficiència dels mercats, probablement estareu d'acord que per a la majoria dels actius, els rendiments garantits són incerts o arriscats. Si no fem cas de les matemàtiques que es troben en les distribucions de probabilitats, podem veure que són imatges que descriuen una visió particular de la incertesa. La distribució de probabilitats és un càlcul estadístic que descriu la possibilitat que una determinada variable caigui entre o dins d'un rang específic en un gràfic de traça.

La incertesa es refereix a l’atzar. És diferent d’una manca de previsibilitat o d’ineficiència del mercat. Una investigació emergent afirma que els mercats financers són alhora incerts i previsibles. A més, els mercats poden ser eficients, però també incerts.

En finances, utilitzem distribucions de probabilitats per dibuixar imatges que il·lustrin la nostra visió de la sensibilitat del retorn d’un actiu quan pensem que la rendibilitat d’actius es pot considerar una variable aleatòria. En aquest article, passarem algunes de les distribucions de probabilitats més populars i us mostrarem com calcular-les.

Les distribucions es poden classificar com discretes o continuades i segons si es tracta d’una funció de densitat de probabilitat (PDF) o d’una distribució acumulada.

Distribucions discretes i contínues

Discreta es refereix a una variable aleatòria extreta d’un conjunt finit de possibles resultats. Una matriu de sis cares, per exemple, té sis resultats discrets. Una distribució contínua fa referència a una variable aleatòria extreta d'un conjunt infinit. Entre els exemples de variables aleatòries contínues s’inclouen la velocitat, la distància i algunes rendibilitats d’actius. Una variable aleatòria discreta s’il·lustra normalment amb punts o guions, mentre que una variable contínua s’il·lustra amb una línia sòlida. La figura 1 mostra distribucions discretes i continuades per a una distribució normal amb una mitjana (valor esperat) de 50 i una desviació estàndard de 10:

figura 1

La distribució és un intent de constatar la incertesa. En aquest cas, un resultat de 50 és el més probable, però només passarà al voltant del 4% del temps; el resultat de 40 és una desviació estàndard per sota de la mitjana i es produirà poc menys del 2, 5% del temps.

Densitat de probabilitats davant distribució acumulada

L’altra distinció és entre la funció de densitat de probabilitats (PDF) i la funció de distribució acumulada. El PDF és la probabilitat que la nostra variable aleatòria arribi a un valor específic (o en el cas d'una variable contínua, que caigui entre un interval). Mostrem que si indiquem la probabilitat que una variable x aleatòria sigui igual a un valor real x:

P [x = X] \ begin {alineat} & P [x = X] \\ \ end {alineat} P [x = X]

La distribució acumulada és la probabilitat que la variable aleatòria X sigui inferior o igual al valor real x:

P [x <= X] \ begin {alineat} & P [x <= X] \\ \ end {alineat} P [x <= X]

o per exemple, si la vostra alçada és una variable aleatòria amb un valor esperat de 5'10 "polzades (l'alçada mitjana dels vostres pares), llavors la pregunta en PDF és" Quina és la probabilitat que arribeu a una altura de 5'4 "" >

La figura 1 mostra dues distribucions normals. Ara podeu veure que són trames de funció de densitat de probabilitat (PDF). Si tornem a traçar la mateixa distribució exacta que una distribució acumulada, obtindrem el següent:

Figura 2

La distribució acumulada ha d’arribar finalment a l’1, 0 o 100% en l’eix Y. Si augmentem la barra suficientment elevada, en algun moment, pràcticament tots els resultats cauran sota aquesta barra (podríem dir que la distribució és normalment asimptòtica a 1, 0).

Les finances, una ciència social, no són tan netes com les ciències físiques. La gravetat, per exemple, té una fórmula elegant de la qual podem dependre, una i altra vegada. En canvi, els rendiments d’actius financers no es poden replicar de manera coherent. Amb els anys es va perdre una quantitat sorprenent de diners per gent intel·ligent que va confondre les distribucions precises (és a dir, com si es derivessin de les ciències físiques) amb les aproximacions desordenades i poc fiables que intenten representar els resultats financers. En finances, les distribucions de probabilitats són poc més que representacions pictòriques crues.

Distribució uniforme

La distribució més simple i popular és la distribució uniforme, en la qual tots els resultats tenen la mateixa possibilitat de produir-se. Una matriu de sis cares té una distribució uniforme. Cada resultat té una probabilitat d'aproximadament el 16, 67% (1/6). A la presentació següent es mostra la línia sòlida (de manera que es pot veure millor), però tingueu en compte que es tracta d’una distribució discreta: no podeu rodar 2.5 o 2.11:

Figura 3

Ara, enrotlla dos daus junts, com es mostra a la figura 4, i la distribució ja no és uniforme. Va assolir les set, cosa que té un 16, 67% de probabilitats. En aquest cas, tots els altres resultats són menys probables:

Figura 4

Ara, enrotllarem tres daus junts, com es mostra a la figura 5. Comencem a veure els efectes d’un teorema més sorprenent: el teorema del límit central. El teorema del límit central promet valent que la suma o la mitjana d'una sèrie de variables independents tendiran a distribuir-se normalment, independentment de la distribució pròpia . Els nostres daus són uniformes individualment, però es combinen i, a mesura que afegim més daus, gairebé màgicament la seva suma tendirà a la distribució normal familiar.

Figura 5

Distribució binomial

La distribució binomial reflecteix una sèrie de proves "o / o", com una sèrie de tirades de monedes. S’anomenen assaigs de Bernoulli (que es refereixen a esdeveniments que tenen només dos resultats), però no necessiteu prou (50/50) probabilitats. La distribució binomial a continuació traça una sèrie de 10 tirades de monedes en què la probabilitat dels caps és del 50% (p-0, 5). Podeu veure a la figura 6 que la possibilitat de bolcar exactament cinc caps i cinc cues (l’ordre no importa) és tan tímid del 25%:

Figura 6

Si la distribució binomial us sembla normal, teniu raó al respecte. A mesura que el nombre d’assajos augmenta, el binomi tendeix cap a la distribució normal.

Distribució Lognormal

La distribució lognormal és molt important en les finances, ja que molts dels models més populars suposen que els preus de les accions es distribueixen de manera lognormal. És fàcil confondre les rendibilitats d’actius amb els nivells de preus.

Les rendibilitats d'actius sovint es consideren com a normals; les accions poden augmentar un 10% o un 10% més baixes. Els nivells de preus sovint es consideren lognormals: un estoc de 10 dòlars pot anar fins a 30 dòlars, però no es pot reduir a - 10 dòlars. La distribució lognormal és nul·la i es mou a la dreta (de nou, les existències no poden baixar de zero, però no tenen un límit al revés teòric):

Figura 7

Poisson

La distribució de Poisson s'utilitza per descriure les probabilitats d'un determinat esdeveniment (per exemple, una pèrdua diària de cartera inferior al 5%) que es produeix en un interval de temps. Així, en l'exemple següent, suposem que algun procés operatiu té una taxa d'error del 3%. Suposem a més 100 proves aleatòries; la distribució de Poisson descriu la possibilitat d’equivocar un cert nombre d’errors en algun període de temps, com ara un sol dia.

Figura 8

T de l'alumne

La distribució en T de l'alumne també és molt popular, ja que té una cua una mica més "grassa" que la distribució normal. La T de l'alumne s'utilitza normalment quan la mida de la nostra mostra és petita (és a dir, menys de 30). En finances, la cua esquerra representa les pèrdues. Per tant, si la mida de la mostra és petita, ens atrevirem a subestimar les probabilitats de pèrdua important. La cua més gruixuda de la T de l’alumne ens ajudarà aquí. Tot i així, passa que la cua de greix d’aquesta distribució sovint no és prou greix. Els rendiments financers solen presentar, en rares ocasions catastròfiques, pèrdues de cua greix realment (és a dir, més greus del que preveien les distribucions). En aquest sentit, s'han perdut grans sumes de diners.

Figura 9

Distribució beta

Finalment, la distribució beta (que no s’ha de confondre amb el paràmetre beta del model de preus d’actius de capital) és popular entre els models que estimen les taxes de recuperació de carteres d’obligacions. La distribució beta és el reproductor d’utilitats de les distribucions. Igual que el normal, només necessita dos paràmetres (alfa i beta), però es poden combinar per a una flexibilitat notable. A la figura 10 següent es il·lustren quatre possibles distribucions beta:

Figura 10

La línia de fons

Com tantes sabates del nostre armari estadístic, sabem triar el millor ajustat per a l'ocasió, però no sabem realment el que ens agrada el temps. És possible que escollim una distribució normal i esbrinem que es subestima les pèrdues de la cua esquerra; de manera que canviem a una distribució inclinada, només per trobar les dades semblen més "normals" en el proper període. L’elegant matemàtica que hi ha a sota pot seduir en pensar que aquestes distribucions revelen una veritat més profunda, però és més probable que siguin simples artefactes humans. Per exemple, totes les distribucions que hem revisat són força suaus, però alguns rendiments d’actius salten de manera discontínua.

La distribució normal és omnipresent i elegant i només requereix dos paràmetres (mitjana i distribució). Moltes altres distribucions convergeixen cap al normal (per exemple, binomi i Poisson). Tot i això, moltes situacions, com ara rendiments del fons de cobertura, carteres de crèdit i esdeveniments de pèrdua severa, no mereixen les distribucions normals.