Interès de compost continu

L'interès compost és l'interès calculat sobre el principal inicial i també sobre els interessos acumulats de períodes anteriors d'un dipòsit o préstec. L’efecte de l’interès compost depèn de la freqüència.

Assumeix un tipus d'interès anual del 12%. Si comencem l'any amb 100 dòlars i els compostos només una vegada, al final de l'any, el principal creix fins a 112 dòlars (100 x 1, 12 $ = 112 $). Si en comptes de mes comprimim l'1%, acabem amb més de 112 dòlars al final de l'any. És a dir, 100 x 1.01 ^ 12 a 112, 68 dòlars. (És més elevat perquè vam compondre més freqüentment.)

El compost de forma contínua retorna el compost més freqüent de tots. El compostatge continu és el límit matemàtic que pot arribar a l'interès compost. Es tracta d’un cas extrem de compostos, ja que la major part d’interès s’acumula de forma mensual, trimestral o semestral.

Taxes de retorn semestrals

Primer, mirem una convenció potencialment confusa. Al mercat de bons, ens referim a un rendiment equivalent en obligacions (o una base equivalent a bons). Això vol dir que si una fiança produeix un 6% de forma semestral, el seu rendiment equivalent en obligacions és del 12%.

figura 1

El rendiment semestral simplement es duplica. Això és potencialment confús perquè el rendiment efectiu d'un vincle de rendiment equivalent al 12% és de 12, 36% (és a dir, 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). Doblar el rendiment semestral només és una convenció de denominació d’obligacions. Per tant, si llegim sobre un vincle del 8% compost de forma semestral, suposem que es refereix a un rendiment semestral del 4%.

Taxa de devolució trimestral, mensual i diària

Ara, anem a parlar de freqüències més altes. Seguim assumint un tipus d'interès de mercat anual del 12%. Sota les convencions de denominació d’obligacions, això implica una taxa de compost semianual del 6%. Ara podem expressar la taxa trimestral composta en funció del tipus d’interès del mercat.

Figura 2

Tenint en compte una taxa de mercat ( r) anual, la taxa trimestral composta ( r _q ) la dóna:

Així, per exemple, on la taxa de mercat anual és del 12%, la taxa trimestral composta és de l’11, 825%:

Figura 3

Una lògica similar s'aplica a la recopilació mensual. La taxa mensual composta ( r _m ) s’inclou aquí com a funció de la taxa d’interès ( r) anual del mercat :

La taxa diària composta ( d) en funció del tipus d'interès de mercat ( r) ve donada per:

Com funciona el compostatge continu

Figura 4

Si augmentem la freqüència del compost fins al seu límit, anem compostant contínuament. Tot i que això no sigui pràctic, la taxa d’interès contínua composta ofereix propietats meravellosament convenients. Resulta que el tipus d'interès contínuament compost es dóna per:

Ln () és el registre natural i, en el nostre exemple, la taxa de compost continu és per tant:

Arribem al mateix lloc agafant el registre natural d'aquesta relació: el valor final dividit pel valor inicial.

Aquest últim és freqüent quan es calcula la rendibilitat contínua per una acció. Per exemple, si les accions salten de 10 dòlars un dia a 11 dòlars l'endemà, el retorn diari de forma contínua es dóna per:

Què és tan bo sobre la taxa contínua (o el retorn) de manera contínua que es denotarà amb r _c ">

Tingueu en compte que e és la funció exponencial. Per exemple, si comencem amb 100 dòlars i compondrem contínuament un 8% en tres anys, la riquesa final ve donada per:

El descompte al valor actual (PV) és simplement compondre a la inversa, de manera que el valor present d'un valor futur (F) compost de forma contínua a un ritme de ( r _c ) ve donat per:

Per exemple, si rebeu 100 € en tres anys amb una taxa de 6% contínua, el seu valor actual ve donat per:

Escalat a diversos períodes

La propietat convenient dels rendiments contínuament compostos és que s’escala en diversos períodes. Si la rendibilitat del primer període és del 4% i la rendibilitat del segon període és del 3%, el retorn de dos períodes és del 7%. Penseu que comencem l’any amb 100 dòlars, que creixen fins als 120 dòlars al final del primer any, i després als 150 dòlars al final del segon any. Els rendiments contínuament compostos són, respectivament, del 18, 23% i del 22, 31%.

Si simplement els sumem, obtenim el 40, 55%. Aquest és el retorn de dos períodes:

Tècnicament parlant, el retorn continu és consistent en el temps. La coherència de temps és un requisit tècnic de valor en risc (VAR). Això vol dir que si un retorn d’un sol període és una variable aleatòria distribuïda normalment, volem que les variables aleatòries de diversos períodes es distribueixin també. A més, la rendibilitat de compost continuat de diversos períodes es distribueix normalment (a diferència d'un percentatge senzill).

La línia de fons

Podem reformular els tipus d’interès anuals en taxes d’interès semianuals, trimestrals, mensuals o diàries (o taxes de rendibilitat). El compostatge més freqüent és el compost continu, cosa que requereix que utilitzem un registre natural i una funció exponencial, que s’utilitza habitualment en finances per les seves propietats desitjables: s’escala fàcilment en diversos períodes i és coherent en el temps.